Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Warunek Cauchy’ego według miary – przeniesienie pojęcia warunku Cauchy’ego na ciągi funkcji mierzalnych.
Niech
będzie przestrzenią z miarą, dalej niech
i
będzie ciągiem funkcji mierzalnych (prawie wszędzie skończonych)
Mówimy, że ciąg
spełnia warunek Cauchy’ego według miary
(na zbiorze
) wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle \bigwedge _{\varepsilon >0}\bigwedge _{\eta >0}\bigvee _{n_{0}\in \mathbb {N} }\bigwedge _{p,q\geqslant n_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d60673056288124e5fbd07dd668b1db7909b2cd)
![{\displaystyle \mu \left(\{x\in A\colon f_{p}(x),f_{q}(x)\in \mathbb {R} ,|f_{p}(x)-f_{q}(x)|\geqslant \varepsilon \}\right)<\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e71dd80b1f0da22cb7cfa2e4ebb2bc466b9381)