Funkcja lokalnie całkowalna

Funkcja lokalnie całkowalna to funkcja, którą jest całkowalna na każdym zbiorze zwartym, ale może nie być całkowalna na zbiorach otwartych. Takie funkcje mają zastosowanie w analizie funkcjonalnej i odgrywają także ważną rolę w teorii dystrybucji. Pojęcie funkcji lokalnie całkowalnych można uogólnić do pojęcia funkcji lokalnie p-całkowalnych.

Definicja

Zdefiniujemy funkcje lokalnie całkowalne oraz przestrzeń funkcyjną $L_{\mathrm {loc} }^{1}$. Niech $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym i niech $f\colon \Omega \to \mathbb {C}$ będzie funkcją mierzalną względem miary Lebesgue’a. Funkcję $f$ nazwiemy lokalnie całkowalną, jeśli dla każdego zbioru zwartego $K\subset \Omega$ całka Lebesgue’a jest skończona, czyli

$\int _{K}|f(x)|\,\mathrm {d} x<\infty$ .

Zbiór wszystkich takich funkcji oznaczymy ${\mathcal {L}}_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$. Jeśli utożsamimy ze sobą te funkcje z ${\mathcal {L}}_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$, które są równe prawie wszędzie, to otrzymamy w ten sposób przestrzeń unormowaną $L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )$.

Równoważna definicja wypływa z teorii dystrybucji:

$L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega ):=\left\{f\in L^{0}(\Omega )\,\left|\,\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\phi (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,\ \phi \in {\mathcal {D}}(\Omega )\right.\right\}$ ,

gdzie $L^{0}(\Omega )$ oznacza przestrzeń funkcji mierzalnych z $\Omega$ do $\mathbb {R}$ (ściślej: klas równoważności funkcji mierzalnych, które są równe prawie wszędzie), a ${\mathcal {D}}(\Omega )\cong C_{c}^{\infty }(\Omega )$ jest przestrzenią funkcji testowych.

Przykłady

• Funkcja charakterystyczna nieograniczonego zbioru $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ jest całkowalna lokalnie, ale nie jest całkowalna.
• Wszystkie funkcje przestrzeni $L^{p}$ są lokalnie całkowalne. W szczególności więc wszystkie funkcje ciągłe są lokalnie całkowalne.
• Funkcja dana wzorem

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$

nie jest lokalnie całkowalna, bo nie jest całkowalna na żadnym zbiorze zwartym zawierającym $x=0$.

Funkcja lokalnie p-całkowalna

Analogicznie do $L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )$ możemy zdefiniować również przestrzeń $L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )$. Niech $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym lub σ-zwartym. Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję $f\colon \Omega \to \mathbb {C}$ nazwiemy lokalnie p-całkowalną, jeśli wyrażenie

$\int _{K}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\,$

istnieje dla ustalonego $p\geq 1$ wszystkich zbiorów zwartych $K\subset \Omega$.

Przypisy

[[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]