Analiza wymiarowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy dotyczy fizyki. Zobacz też: analiza wymiarowa konstrukcji.

Analiza wymiarowa jest narzędziem powszechnie stosowanym w fizyce, chemii oraz inżynierii (głównie mechanicznej oraz chemicznej), opartym na teorii podobieństwa, stosowanym do wyznaczania warunków podobieństwa dynamicznego poprzez analizę wielkości fizycznych charakteryzujących dane zjawisko.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Każdą zależność funkcyjną (nieznaną) można zapisać jako funkcję kilku parametrów fizycznych (niezależnych, np. temperatura, czas itp.), z których każdy posiada swój wymiar (w układzie SI będzie to np. metr lub sekunda). Najprostszy taki przypadek (spadek ciśnienia w przewodzie) można wyrazić jako funkcję długości przewodu (l), średnicy przewodu (d), prędkości płynu (u), lepkości dynamicznej płynu (\mu) oraz gęstości płynu (\rho):

\Delta p=\it f \rm \left(d, l, u, \mu, \rho \right).

Założone parametry mają następujące wymiary:

\left[d\right]=\rm{L}, \left[l\right]=\rm{L}, \left[u\right]=\frac{\rm{L}}{\rm{T}}, \left[\mu\right]=\frac{\rm{M}}{\rm{L}\cdot \rm{T}}, \left[\rho\right]=\frac{\rm{M}}{\rm{L}^3}.

Każdą taką funkcję można wyrazić w postaci potęgowej:

\Delta p=C \cdot d^A \cdot l^B \cdot u^D \cdot \mu^E \cdot \rho^F,

gdzie litery od A do F oznaczają stałe.

Zgodnie z zasadą zgodności wymiarowej, wartość po lewej stronie równania musi równać się wartości po prawej stronie równania. Przyjmując, że wymiarem ciśnienia jest \frac{\rm{M}}{\rm{L} \cdot \rm{T}^2} \, równanie przyjmuje postać:

\rm{M}^{1} \cdot \rm{L}^{-1} \cdot \rm{T}^{-2} = C \cdot \rm{L}^{A} \cdot \rm{L}^{B} \cdot \rm{L}^{D} \cdot \rm{T}^{-D} \cdot \rm{M}^{E} \cdot \rm{L}^{-E} \cdot \rm{T}^{-E} \cdot \rm{M}^{F} \cdot \rm{L}^{-3F}.

Z porównania wykładników potęgowych wymiarów po lewej oraz po prawej stronie równania powstaje układ trzech równań:

dla \begin{array}{l}\rm{L}\\\rm{M}\\\rm{T}\end{array}\left\{\begin{array}{l}-1=A + B + D - E - 3F\\ 1=E + F \\ -2= - D - E\end{array}\right.

Jest to układ trzech równań z pięcioma niewiadomymi. Można go rozwiązać, przyjmując dwie z pięciu wartości za znane (np. B oraz E).

F = 1 - E\,
D = 2 - E\,
A = 3F + E - 1 - B - D\,
A = 3 - 3E + E - 1 - B - 2 + E\,
A = -E -B\,

Ostateczna postać wzoru:

\Delta p = C \cdot d^{-E-B} \cdot l^B \cdot u^{2-E} \cdot \mu^E \cdot \rho^{1-E}
\frac{\Delta p}{\rho u^2} = C \cdot \left( \frac{l}{d} \right)^B \cdot \left( \frac{\mu}{ud\rho} \right)^E
\frac{\Delta p}{\rho u^2} = C \cdot \left( \frac{l}{d} \right)^B \cdot \left( \frac{ud\rho}{\mu} \right)^{-E}
\rm{Eu} = \it f \rm \left( \frac{l}{d}, Re \right)

gdzie Re – liczba Reynoldsa, Eu – liczba Eulera

Twierdzenie Buckinghama[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Buckinghama (znany również jako twierdzenie Π) mówi, że liczba modułów bezwymiarowych równa jest liczbie niezależnych parametrów fizycznych pomniejszonych o liczbę wymiarów podstawowych (metr, sekunda, kilogram, kelwin, amper, kandela).

Równanie o n zmiennych, można zapisać w postaci:

\it f \rm \left( Q_1, Q_2, Q_3...Q_n \right) = 0.

Jeżeli liczbę parametrów podstawowych występującym w tym równaniu oznaczymy przez r, to zgodnie z teorematem Π liczba modułów bezwymiarowych będzie równa n-r, co można zapisać:

\it f \rm \left( \pi_1, \pi_2, \pi_3...\pi_{n-r} \right) = 0.

W omówionym przykładzie liczba parametrów niezależnych (n) równa jest 6, liczba wartości podstawowych występującym w tym równaniu (r) jest równa 3 (m, kg, s) tak więc liczba modułów bezwymiarowych (Π) równa jest 3.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]