Autokorelacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Autokorelacja – jest narzędziem matematycznym często używanym w przetwarzaniu sygnałów do analizowania funkcji lub serii wartości. Mniej formalnie jest to statystyka opisująca, w jakim stopniu dany wyraz szeregu zależy od wyrazów poprzednich w szeregu czasowym. Autokorelacja jest funkcją, która argumentowi naturalnemu k przypisuje wartość współczynnika korelacji Pearsona pomiędzy szeregiem czasowym a tym samym szeregiem cofniętym o k jednostek czasu.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Statystyka[edytuj | edytuj kod]

W statystyce, funkcja autokorelacji opisuje korelację procesu w różnych punktach czasu. Załóżmy, że Xt jest wartością procesu w czasie t. Jeśli Xt ma wartość oczekiwaną równą μ i wariancję równą σ2, wówczas wzór ma postać:

R(t,s) = \frac{E[(X_t - \mu)(X_s - \mu)]}{\sigma^2}\, ,

gdzie E jest wartością oczekiwaną.

Definiuje się również autokorelację jako funkcję jednej zmiennej – różnicy k=t-s\;:

R(k) = \frac{E[(X_t - \mu)(X_{t-k} - \mu)]}{\sigma^2}\, ,

Na przykład autokorelacja cen akcji dla k=1 tydzień będzie korelacją cen akcji z cenami tych samych akcji sprzed tygodnia.

Przetwarzanie sygnałów[edytuj | edytuj kod]

W przetwarzaniu sygnałów powyższa definicja jest często stosowana bez normalizacji, to znaczy bez odejmowania średniej oraz dzielenia przez wariancję.

R_{ff}(\tau) = \overline{f}(-\tau) * f(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)\overline{f}(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\overline{f}(t-\tau)\, dt;

gdzie \tau jest opóźnieniem a \overline{f} liczbą sprzężoną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]