Diagram Woronoja

Komórki Woronoja dla losowego zbioru punktów na płaszczyźnie.

W matematyce Diagram Woronoja (zwany również tesselacją Dirichleta, tesselacją Woronoja, lub komórkami Woronoja, w powszechnym użytku jest też inna pisownia nazwiska - Voronoi) to podział płaszczyzny nazwany tak na cześć Gieorgija Woronoja.

W przypadku przestrzeni dwuwymiarowej, dla danego zbioru $n$ punktów, dzieli się płaszczyznę na $n$ obszarów, w taki sposób, że każdy punkt w dowolnym obszarze znajduje się bliżej określonego punktu ze zbioru $n$ punktów niż od pozostałych $n-1$ punktów

Definicja

Niech $S$ będzie skończonym zbiorem $n$ punktów należących do przestrzeni euklidesowej $E$. Elementy zbioru $S$ nazwiemy centrami, środkami lub zalążkami. Obszarem Woronoja lub komórką Woronoja przypisaną pewnemu elementowi $p$ zbioru $S$ nazwiemy zbiór punktów znajdujących się bliżej punktu $p$ niż każdego innego elementu ze zbioru $S$:

$Vor_S(p)=\{x\in E |\forall q\in S , d(x,p) \le d(x,q)\}$, gdzie $d$ jest odległością.

Weźmy dwa punkty $a$ i $b$ należące do zbioru $S$. W przestrzeni dwuwymiarowej $E$ (płaszczyzna) zbiór $\Pi(a,b)$ punktów jednakowo odległych od $a$ i od $b$ jest prostą zwaną symetralną odcinka $ab$: $\Pi(a,b)=\{x\in E | d(x,a) = d(x,b)\}$.

Prosta ta jest granicą między zbiorem punktów mniej oddalonych od punktu $a$ niż od punktu $b$ a zbiorem punktów mniej oddalonych od punktu $b$ niż od punktu $a$.

Niech $H(a,b)$ będzie półpłaszczyzną ograniczoną prostą $\Pi(a,b)$ i zawierającą punkt $a$. Zawiera więc ona wszystkie punkty bliższe punktowi $a$ niż punktowi $b$: $H(a,b)=\{x\in E | d(x,a) \le d(x,b)\}$.

Komórką (obszarem) Woronoja przypisaną punktowi $a$ jest intersekcja (część wspólna) wszystkich półpłaszczyzn $H(a,b)$, gdzie $b$ zastępuje kolejno każdy punkt ze zbioru $S - \{a\}$.

$Vor_S(a)= \displaystyle\bigcap_{b\in S - \{a\}} H(a,b)$.

Komórki Woronoja będąc intersekcją półpłaszczyzn są wielobokami wypukłymi. Zbiór tych wieloboków rozbija dwuwymiarową przestrzeń euklidesową $E$ i jest diagramem Woronoja odpowiadającym zbiorowi $S$.

Omówiony podział płaszczyzny na komórki Woronoja można również zastosować w przestrzeni trójwymiarowej. Prosta $\Pi(a,b)$ zastąpiona będzie wówczas płaszczyzną $\Pi(a,b)$, a półpłaszczyzna $H(a,b)$ półprzestrzenią $H(a,b)$ ograniczoną płaszczyzną $\Pi(a,b)$. Przestrzenne komórki Woronoja są wielościanami wypukłymi. Generalizując, w przestrzeni euklidesowej $N$-wymiarowej , $\Pi(a,b)$ jest hiperpłaszczyzną afiniczną (wymiaru $N - 1$), a dowolna komórka Woronoja będąc intersekcją półprzestrzeni $H(a,b)$ wymiaru N, ograniczonych hiperpłaszczyznami $\Pi(a,b)$ jest wielokomórką wypukłą.

Diagram Woronoja (na czerwono) i triangulacja Delone.

Diagram Woronoja jest grafem dualnym triangulacji Delone, którą można zresztą łatwo otrzymać na podstawie diagramu Woronoja: dwa punkty $p$ i $q$ tworzą krawędź grafu wtedy i tylko wtedy gdy komórki Woronoja przyporządkowane tym punktom przystają do siebie:

$Del(S) = \{(p,q)\in S^2 | Vor_S(p) \cap Vor_S(q) \not= 0 \}$