Płaszczyzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy pojęcia z dziedziny geometrii. Zobacz też: miejscowości o nazwie Płaszczyzna.
Dwie przecinające się płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej

Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Płaszczyznę można obrazować jako kartę papieru, powierzchnię stołu, czy płaskie pole, wyobrażając sobie je rozciągające się "w nieskończoność".

Własności[edytuj | edytuj kod]

Podstawowe własności płaszczyzn opisują aksjomaty geometrii absolutnej, inne są twierdzeniami, czyli wnioskami z aksjomatów. Uwaga: niektóre z podanych własności zachodzą wyłącznie w przestrzeni trójwymiarowej.

  • przez trzy niewspółliniowe punkty przestrzeni (tzn. nie leżące na jednej prostej) przechodzi jedna i tylko jedna płaszczyzna;
    • przez daną prostą i punkt nie leżący na niej przechodzi jedna i tylko jedna płaszczyzna;
    • przez dwie proste przecinające się w jednym punkcie przechodzi jedna i tylko jedna płaszczyzna;
  • prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie;
  • jeśli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to mają również drugi punkt wspólny;
  • płaszczyzna jest zbiorem punktów przestrzeni jednakowo oddalonych od dwu ustalonych punktów;
  • każdy punkt płaszczyzny należy do nieskończenie wielu prostych;
  • każda płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwa obszary (których częścią wspólną jest ta właśnie płaszczyzna), takich że dowolny odcinek w przestrzeni ma wspólny punkt z daną płaszczyzną wtedy i tylko wtedy, gdy jego końce leża w różnych obszarach; obszary te nazywamy półprzestrzeniami – płaszczyzna jest brzegiem każdego z tych obszarów;
  • każda prosta zawarta w płaszczyźnie dzieli ją na dwie części, takich że dowolny odcinek w tej płaszczyżnie ma wspólny punkt z daną prostą wtedy i tylko wtedy, gdy jego końce leża w różnych częściach; części te nazywane półpłaszczyznami; dana prosta jest brzegiem każdej z dwu półpłaszczyzn;
  • względem danej płaszczyzny prosta w przestrzeni znajduje się w jednej i tylko jednej z takich trzech pozycji:
    • nie ma punktów wspólnych z daną płaszczyzną – nazywamy ją wtedy równoległą do płaszczyzny;
    • ma jeden punkt wspólny;
    • jest zawarta w tej płaszczyźnie.

Płaszczyzna euklidesowa[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli do listy wyżej wymienionych własności dodamy następujący aksjomat (tzw. V pewnik Euklidesa):

przez dowolny punkt płaszczyzny, nie należący do danej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, można poprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą,

to otrzymamy pojęcie płaszczyzny euklidesowej. Z tym właśnie pojęciem zaznajamiamy się w szkole.

Opis w przestrzeni \Bbb R^3[edytuj | edytuj kod]

\Bbb R^3 jest modelem dla geometrii euklidesowej i poniższy opis dotyczy płaszczyzny euklidesowej.

Równanie ogólne[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni euklidesowej \Bbb R^3 płaszczyzna jest zbiorem punktów, których współrzędne spełniają w danym kartezjańskim układzie współrzędnych równanie:

Ax+By+Cz+D=0,\;

przy czym liczby A,\ B,\ C\, nie mogą być jednocześnie równe zeru.

Jest to tak zwane równanie ogólne płaszczyzny. Wektor [A,B,C]\, jest wektorem normalnym prostopadłym do tej płaszczyzny.

Równanie normalne[edytuj | edytuj kod]

Równanie normalne płaszczyzny, to równanie postaci:

\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0,\;

gdzie \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1.\; Liczby \alpha,\ \beta,\ \gamma\; interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny. Przejście z postaci ogólnej do normalnej dają wzory:

\alpha = \frac{A}{N},\quad \beta = \frac{B}{N},\quad \gamma = \frac{C}{N},\quad \delta = \frac{D}{N},

w których współczynnik normalizujący N\; odpowiada normie (długości) wektora [A, B, C]:\;

N=\sqrt{A^2+B^2+C^2}.

Równanie odcinkowe[edytuj | edytuj kod]

Do opisu płaszczyzny można też użyć równania odcinkowego:

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.

Ma ono tę zaletę, że od razu daje punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych układu: są to punkty (a, 0, 0),\ (0, b, 0),\ (0, 0, c).\;

Ma również istotną wadę: nie daje się w ten sposób przedstawić żadnej płaszczyzny przechodzącej przez początek układu współrzędnych (wówczas wszystkie mianowniki musiałyby być równe zeru, a=b=c=0\;) ani też żadnej płaszczyzny równoległej do którejkolwiek osi (wówczas odpowiedniemu współczynnikowi lub parze współczynników należałoby przypisać wartość nieskończoną, \infty).

Przejście z postaci ogólnej lub normalnej do odcinkowej dają wzory:

a = -\frac{D}{A} = -\frac{\delta}{\alpha},\ \ \ \ \ \ b = -\frac{D}{B} = -\frac{\delta}{\beta},\ \ \ \ \ \ c = -\frac{D}{C} = -\frac{\delta}{\gamma}.

Płaszczyzna przechodząca przez trzy punkty[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ istnieje tylko jedna płaszczyzna w \mathbb R^3 przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty, dlatego można jednoznacznie wyznaczyć tę płaszczyznę. Jeżeli płaszczyzna przechodzi przez trzy punkty P_1 = (x_1,y_1,z_1)\; , P_2 = (x_2,y_2,z_2)\; i P_3 = (x_3,y_3,z_3)\; , jest określona następującym równaniem:

\begin{vmatrix} 
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3 
\end{vmatrix} = 0

lub


\begin{vmatrix} 
x  & y  & z & 1 \\
x_1  & y_1  & z_1 & 1 \\
x_2  & y_2  & z_2 & 1 \\
x_3  & y_3  & z_3 & 1 
\end{vmatrix} = 0.

Parametry równania ogólnego Ax+By+Cz+D=0\; tej płaszczyzny, można wyznaczyć następująco:

 [A, B, C] = (\vec P_2 - \vec P_1) \times (\vec P_3 - \vec P_1) \;

 D = - (A x_1 + B y_1 + C z_1) \;

Odległość punktu od płaszczyzny[edytuj | edytuj kod]

Odległość punktu P o współrzędnych (x_P, y_P, z_P)\; od płaszczyzny m zadanej równaniem ogólnym Ax+By+Cz+D=0\; lub normalnym \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0\; przedstawia wzór:

d(P, m)=\frac{|Ax_P+By_P+Cz_P+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = |\alpha x_P + \beta y_P+\gamma z_P+\delta|.
Zobacz hasło płaszczyzna w Wikisłowniku