Parkietaż

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Parkietaż chodnika (elementy nie są wielokątami)
Plaster miodu jest przykładem parkietażu spotykanego w przyrodzie

Parkietaż, kafelkowanie lub tesselacja[1] – pokrycie płaszczyzny wielokątami przylegającymi i nie zachodzącymi na siebie[2]. Można rozpatrywać parkietaże części płaszczyzny oraz powierzchni, które nie są płaskie (np. parkietaże sfery[3]). Można także badać parkietaże przestrzeni trójwymiarowej i przestrzeni wymiarów wyższych. Nie jest konieczne ograniczanie się do przestrzeni euklidesowych[4]. W praktyce (parkietaż chodnika na zdjęciu) elementy parkietażu nie muszą być wielokątami.

Parkietaże często pojawiają się w architekturze (np. Alhambra) i twórczości plastycznej (np. Maurits Cornelis Escher).

Typy parkietaży płaszczyzny[edytuj | edytuj kod]

Parkietaż okresowy
Istnieje dla niego grupa przekształceń płaszczyzny przeprowadzająca jego elementy na siebie.
Parkietaż foremny
Składa się z przystających wielokątów foremnych.
Parkietaż regularny
Parkietaż, w którego każdym wierzchołku spotyka się taka sama grupa figur (z dokładnością do obrotu).

Cechą dobrze charakteryzującą parkietaż regularny jest liczba i rodzaj wielokątów stykających się w danym wierzchołku. Jeśli w wierzchołkach spotykają się: trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny i kwadrat, to taki parkietaż jest typu (3, 4, 6, 4). Kolejność liczb odczytuje się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Skrócenie zapisu osiąga się przez zapis potęgowy: jeśli liczba k wystąpi n razy po kolei, to zapisuje się to symbolem k^n.

Rodzaje parkietaży[edytuj | edytuj kod]

Okresowe parkietaże foremne regularne (platońskie) 
Istnieją tylko trzy takie parkietaże: 6^3,\, 4^4,\, 3^6.
Okresowe parkietaże półforemne regularne (archimedesowskie, półforemne) 
Istnieje tylko osiem takich parkietaży: (3^4, 6),\ (3^3, 4^2),\ (4, 8^2),\ (4, 6, 12),\ (3, 4, 6, 4),\ (3^2, 4, 3, 4),\ (3, 12^2),\ (3, 6, 3, 6). Z tych samych wielokątów można budować różne parkietaże.
Okresowe parkietaże półforemne nieregularne 
Przykładem jest parkietaż Johnsona, który ma dwa rodzaje wierzchołków: 3^6 oraz (3^2, 4, 12).
Okresowe parkietaże nieregularne 
Przykładem może być parkietaż złożony z tylko jednego pięciokąta (potocznie zwanego „sfinksem”). Wielokąt ten jest na razie jedynym znanym pięciokątem, który można podzielić na 4 pięciokąty wzajemnie przystające do siebie i zarazem podobne do pięciokąta wyjściowego.
Parkietaże nieokresowe 
Przykładem jest parkietaż Pearsona zbudowany z dwóch typów złotych deltoidów: wypukłego (kąty: 72°, 72°, 72°, 144°) oraz wklęsłego (kąty: 36°, 36°, 72°, 216°). Parkietażami tego typu są także parkietaże Penrose'a.

Przypisy

  1. Za ang. tessellation, z późnołac. tessellatus: od tessellare, wykładać tesserami; z łac. tessella, zdr. od tessera.
  2. Coxeter, op. cit., s. 69
  3. Berger, op. cit., tłum. ros. 1984, s. 38-47
  4. Wilhelm Magnus, op. cit.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  2. Marcel Berger: Géométrie. Cz. 1. Paris: Nathan, 1977.
  3. Grünbaum B., Shephard G. C.: Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman & Co., 1987. ISBN 0-7167-1193-1.
  4. IV : Tessellations and Honeycombs. W: Coxeter H. S. M.: Regular Polytopes. Dover: 1973. ISBN 0-486-61480-8.
  5. Wilhelm Magnus: Noneuclidean tesselations and their groups. Dover: Academic Press, 1974. ISBN 978-0-12465450-1.
  6. Никулин В. В., Шафаревич И. Р.: Геометрия и группы. Москва: Наука, 1983.