Dudnienie

Przykładowy przebieg dudnienia

Dudnienie – okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach. Dudnienia obserwuje się dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami.

W roku 1955 A. T. Forrester, R. A. Gudmundsen i P. O. Johnson obserwowali dudnienie światła pochodzącego z dwóch niezależnych źródeł światła widzialnego o prawie identycznej częstotliwości. Uzyskano częstotliwość dudnień w zakresie mikrofal.

Przykłady dudnień:

• dudniący dźwięk powstający ze złożenia dwóch dźwięków źle zestrojonych instrumentów muzycznych
• dźwięk (drgania) powstający ze złożenia dźwięku odbieranego bezpośrednio i odbitego od poruszającej się powierzchni odbijającej (wskutek zjawiska Dopplera dźwięk odbity od ruchomej powierzchni jest odbierany jako dźwięk o zmienionej częstotliwości)

Za dudnienie uznaje się także okresowe zmiany amplitudy drgań w układzie dwóch słabo sprzężonych oscylatorów.

Dudnienie drgań harmonicznych

W przypadku dwóch drgań harmonicznych o częstościach ω₁, ω₂ i jednakowej amplitudzie, przebieg drgań można opisać funkcjami:

$\psi_1 \,=\, A\,\sin(\omega_1 t) \,$

$\psi_2 \,=\, A\,\sin(\omega_2 t) \,$

Przebieg powstały w wyniku dodania tych drgań:

$\psi \,=\,\psi_1\,+\,\psi_2$

z sumowania funkcji trygonometrycznych wynika:

$\psi \,=\; A\left[\sin(\omega_1 t)\,+\,\sin(\omega_2 t)\right]\;=\;2\,A\;\cos\!\left(\frac{\omega_1 t \!-\! \omega_2 t}{2}\right)\,\sin\!\left(\frac{\omega_1 t \!+\! \omega_2 t}{2}\right)$

lub, po wprowadzeniu nowych oznaczeń:

$\psi \,=\, 2\,A\;\cos(\omega_m t)\;\sin(\omega_w t)$

gdzie:

$\omega_m \,=\, \frac{\omega_1 - \omega_2} {2}$

$\omega_w \,=\, \frac{\omega_1 + \omega_2} {2}$

Powstające w wyniku złożenia drganie można traktować jako drganie, którego częstość jest równa średniej arytmetycznej częstości drgań składowych, zaś amplituda zmienia się znacznie wolniej, co można ująć matematycznie:

$\psi \,=\, B(t)\,\sin(\omega_w t)$

gdzie:

$B(t) \,=\, 2 A\, \cos(\omega_m t)$

Funkcja B(t) przyjmuje na przemian wartości dodatnie i ujemne. Jej wartość bezwzględna |B(t)| nosi nazwę obwiedni; jest to funkcja zmieniająca się z częstością $\;2\,\omega_m\;$, a zatem równą różnicy częstości składanych drgań (nie zaś połowie tej różnicy).

Efektem fizycznym opisanego sumowania drgań jest to, że zachowują one swój szybkooscylujący charakter (z częstością $\,\omega_w\,$), a przy tym ich obwiednia zmienia się powoli w czasie, co dla dźwięku oznacza słyszalną, pulsacyjną modulację głośności z częstością $\;2\,\omega_m\;$ .

Wybrane zastosowania

Wykres sumy funkcji sin(x) i sin(0,95*x), z zaznaczoną (kolor czarny) obwiednią o postaci 2 cos(0,025*x)

Efekt dudnień jest wykorzystywany do:

• strojenia instrumentów muzycznych, ponieważ im dwie częstotliwości są sobie bliższe, tym dudnienie jest wyraźniejsze i znika dopiero przy idealnym dobraniu częstotliwości
• zmiany częstości odbieranych drgań w odbiornikach fal radiowych (superheterodyna z mieszaczem)
• określania częstotliwości drgań lub fal poprzez sumowanie fali odebranej i wzorcowej, stosowane np. w radarach dopplerowskich
• uzyskiwania tzw. róznicowych współtonów kombinacyjnych - popularny "bas akustyczny" w organach: współbrzmienie głosu 16' i 10 2/3' daje złudzenie głosu 32'

---

Dudnienia dla częstotliwości 440 i 441 Hz (plik w formacie Ogg Vorbis)

Zobacz też

• interferencja
• modulacja amplitudy