Ruch harmoniczny

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange’a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Ruch harmoniczny - drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Ruch harmoniczny prosty

Ruch harmoniczny punktu

Ruch harmoniczny ciała na sprężynie

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

$\vec{F}= -k\vec{x}$

gdzie

$\vec{F}$ - siła,

$k$ - współczynnik proporcjonalności,

$\vec{x}$ - wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

$a = -\frac{k}{m} x$

albo w postaci różniczkowej:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x$

co zapisuje się też jako:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\omega_0^2 x$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

1. $x(t)= A \cos(\omega_0 t+\varphi)$
2. $x(t)= B \sin(\omega_0 t) + C \cos(\omega_0 t) \,$
3. $x(t)= A \sin(\omega_0 t+\varphi')$

Przyjmując rozwiązanie w pierwszej postaci, prędkość i przyspieszenie określają wzory:

$v(t) = \frac {dx}{dt} = -\omega_0 A sin(\omega_0 t + \varphi)$

$a(t) = \frac {dv}{dt} = -\omega_0^2 A cos(\omega_0 t + \varphi)$

gdzie:

• $\omega_0 =\sqrt{ \frac k m}$ jest częstością kołową drgań,
• $A,B,C,\varphi,\varphi'$ stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową $\omega_0$ wiąże z okresem drgań $T$ związek:

$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$,

częstotliwość drgań $\nu$ natomiast wynosi

$\nu=\frac{\omega_0}{2\pi}.$

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Energia w ruchu harmonicznym prostym

Wykres zależności energii od wychylenia

Energia w ruchu harmonicznym jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej. Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia i energię kinetyczną określają wzory:

$E_{p}(t)=\frac{1}{2}kx^{2}(t) =\frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t+\varphi)$

$E_{k}(t)=\frac{1}{2}m v^{2}(t) =\frac{1}{2} m \omega_0^2 A^2 sin^2(\omega_0 t + \varphi)$

Suma energii, co wynika także z zasady zachowania energii jest stała i może być określona przez wzory:

$E= \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m \omega_0^2 A^2$

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze $E_{k}=\frac{1}{2} mv^{2}$ z powyższym):

Ciało drgające ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

$v_{0}=A \omega_{0}$.

Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

$\vec{F}_{op} = -b \vec{v}$

Równanie ruchu ma wtedy postać:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\frac{k}{m} x - \frac{b}{m}\frac{dx}{dt}$

Wprowadzając oznaczenie:

$\Gamma = \frac b m$

Powyższe równanie można wyrazić:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \Gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^{2} x = 0$

Rozwiązanie równania można wyrazić w postaci:

$x(t) = e^{-\frac {\Gamma t} 2}(A \sin \omega t + B \cos \omega t)$

Przy czym przyjęto oznaczenie:

$\omega^2 = \omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2$

Wielkość ω jest nazywana zmodyfikowaną częstością drgań, jest zależna nie tylko od siły kierującej ale też od współczynnika tłumienia i maleje gdy współczynnik tłumienia rośnie.

Stałe A i B zależą od warunków początkowych następującymi związkami:

$A = \frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega$

$B = x_0 \,$

gdzie:

• $x_0$ - położenie początkowe, dla t = 0,
• $v_0$ - prędkość początkowa, dla t = 0.

Położenie w ruchu harmonicznym nietłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny)

Oscylator drgający

Gdy $\omega^2 = \omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2 > 0$ , ω jest liczbą rzeczywistą. Ruch opisuje wzór:

$x(t) = e^{-\frac {\Gamma t} 2}(\frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega \sin \omega t + x_0 \cos \omega t)$

Przedstawione wyżej rozwiązanie składa się z dwóch czynników:

• $e^{-\frac {\Gamma t} 2}$ - malejącego wykładniczo z czasem,
• $\frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega \sin \omega t + x_0 \cos \omega t$ - oscylacyjnego, zmieniającego się z częstością ω

Dla słabego tłumienia czynnik wykładniczy jest w ciągu jednego cyklu w zasadzie stały, co można uwzględnić w obliczeniach. Wówczas można przyjąć, że ruch jest harmoniczny, z malejącą amplitudą.

Oscylator przetłumiony

Gdy tłumienie jest silne $\omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2 < 0$, wówczas ω nie ma wartości rzeczywistych. Ale przyjmując, że jest wartością urojoną powyższe równanie spełnia rozwiązanie. Przyjmując:

$\omega = i \sqrt {| \omega_0^2 - \frac 1 4 \Gamma^2 | }$

Po wykorzystaniu własności funkcji trygonometrycznych dla wartości urojonych, rozwiązanie można zapisać w postaci:

$x(t) = e^{-\frac {\Gamma t} 2}(\frac {v_0 + \frac 1 2 \Gamma x_0} \omega \sinh \omega t + x_0 \cosh \omega t)$

Przypadek ten odpowiada tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu. W tej sytuacji drugi czynnik wyrażenia jest wolnozmienny a nie oscylacyjny jak poprzednio, dlatego nie występuje ruch wahadłowy, a jedynie zbliżony do eksponencjalnego zanik wychylenia z czasem.

Diagramy fazowe

Wykres fazowy (położenie - prędkość) ruchu harmonicznego

Na wykresie fazowym obok znajdują się krzywe fazowe - dla ruchu harmonicznego prostego (zielony) i ruchu harmonicznego tłumionego (czerwony).

Parametry ruchów:

• $\omega$ = 1,0
• $\beta$ = 0,2
• $x_{0}$ = 1,0
• $v_{0}$ = 1,0

Przybliżanie innych rodzajów ruchu przez drgania harmoniczne

Przybliżenie za pomocą prostego ruchu harmonicznego stosuje się np. do opisu małych drgań wahadła matematycznego.

Ogólniej, załóżmy, że ciało znajduje się w położeniu $x_{r}$ równowagi trwałej; innymi słowy w punkcie $x_{r}$ energia potencjalna tego ciała przyjmuje wartość minimalną $E(x_{r})$. Jeżeli funkcja E(x) posiada rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu $x_{r}$, otrzymujemy:

$E(x_{r}+h) = E(x_{r}) + \left . \frac{dE}{dx} \right |_{x = x_{r}} \cdot h + \left . \frac{1}{2} \frac{d^{2}E}{dx^{2}} \right |_{x = x_{r}} \cdot h^{2} + ...$

Dla dostatecznie małych h można pominąć wyrazy z h do potęgi większej niż 2. Wyraz z h się zeruje (warunek konieczny występowania minimum), pozostaje równanie postaci:

$E(x) = E + kx^{2}\,$

Można obliczyć siłę dla takiej energii potencjalnej jako ujemny gradient potencjału (energii potencjalnej).

$F(x) = - \frac{dE(x)}{dx} = -kx$

Wniosek: Pod warunkiem, że dla danego ruchu funkcja energii E(x) jest funkcją dość regularną (tzn. posiada rozwinięcie w szereg Taylora, co w praktyce oznacza, że posiada ciągłą pierwszą i drugą pochodną w pewnym otoczeniu punktu równowagi) to dla niewielkich wychyleń z położenia równowagi ruch ten możemy opisywać z dobrym przybliżeniem jako drgania harmoniczne.

Przykłady ruchów harmonicznych

• wahadło matematyczne
• wahadło fizyczne
• ciężarek na sprężynie
• drgania atomów sieci krystalicznej

Zobacz też

• Rezonans