Grupa alternująca

Grupa alternująca – w teorii grup grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego.

Definicja [edytuj]

Grupą alternującą nazywamy jądro homomorfizmu $f\colon S_n \to \{1, -1\}$ danego wzorem

$f(\sigma) = \begin{cases} 1, & \mbox{gdy }\sigma\mbox{ jest parzysta} \\ -1, & \mbox{gdy }\sigma\mbox{ jest nieparzysta} \end{cases}$ .

Dla grupy symetrycznej rzędu $n$ mówimy również o grupie alternującej stopnia $n$ . Grupę taką oznacza się symbolami $A_n$ lub $\operatorname{Alt}(n)$ .

Przykłady i własności [edytuj]

Grupą alternującą stopnia 4 jest

$A_4 = \{\operatorname{id},\; (123),\; (132),\; (124),\; (142),\; (134),\; (143),\; (234),\; (243),\; (12)(34),\; (13)(24),\; (14)(23)\}$ .

Dla $n > 1$ , grupa $A_n$ jest podgrupą normalną grupy symetrycznej $S_n$ o $\tfrac{n!}{2}$ elementach.
Grupa $A_n$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $n \leqslant 3$ ; jest grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy $n = 3$ lub $n \ge 5$ .
$A_5$ (rzędu 60) jest najmniejszą nierozwiązalną grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą.
Podgrupa alternująca $A_n$ jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej $S_n$ .