Grupa rozwiązalna

Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia: $x^5 - x - 1$.

Definicja

Grupa $G$ jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup

$\{1\} = H_0 \subseteq H_1 \subseteq \cdots \subseteq H_{k-1} \subseteq H_k = G$,

takich, że dla każdego $1 \leqslant i \leqslant k$ są spełnione warunki:

• $H_{i-1}$ jest podgrupą normalną $H_i$
• grupa ilorazowa $H_i/H_{i-1}$ jest abelowa.

Warunki równoważne

Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:

Grupa $G$ jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy $G^{(n)} = \{1\}$ dla pewnej liczby $n$,

gdzie $G^{(n)}$ oznacza $n$-tą pochodną grupy $G$. Najmniejszą taką liczbę $n$ nazywa się stopniem rozwiązalności grupy $G$.

Jeżeli grupa $G$ jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy $G$ są grupami cyklicznymi rzędu, będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera).

Własności

• Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
• Jeśli $H \vartriangleleft G$ i grupa $G$ jest rozwiązalna, to iloraz $G/H$ również jest grupą rozwiązalną.
• Jeżeli $H \vartriangleleft G$ oraz grupy $H$ i $G/H$ są rozwiązalne, to $G$ również jest grupą rozwiązalną.
• Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
• Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.

Przykłady

• Każda grupa abelowa jest rozwiązalna.
• Grupy nilpotentne i superrozwiązalne są rozwiązalne.
• p-grupy są rozwiązalne.
• Grupa permutacji S_n jest rozwiązalna dla $n=1,\;2,\;3,\;4$ i nie jest rozwiązalna dla $n>4$.
• Grupa alternująca $A_4$ jest nieabelową grupą rozwiązalną. $\{\operatorname{id}\}\vartriangleleft V_4 \vartriangleleft A_4$, gdzie $V_4$ oznacza czwórkową grupę Kleina. Grupa Kleina jest abelowa oraz $V_4 \simeq V_4/\{\operatorname{id}\}$, ponadto $A_4/V_4 \simeq \mathbb Z_3$, skąd $A_4$ jest rozwiązalna.
• Nierozwiązalną grupą najmniejszego rzędu jest 60-elementowa grupa alternująca $A_5$.
• Każda nieabelowa grupa prosta $G$ nie jest rozwiązalna, ponieważ $G/\{1\} \simeq G$, a w grupie prostej nie ma innych ciągów subnormalnych.

Twierdzenia

Twierdzenie Feita-Thompsona 

Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.

Twierdzenie Burnside'a 

Każda grupa rzędu $p^a q^b$ jest rozwiązalna, gdzie $p, q$ są liczbami pierwszymi, a $a, b$ – nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Bibliografia

1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.