Grupa rozwiązalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupa rozwiązalna – w matematyce, jest to grupa, dla której istnieje ciąg subnormalny o abelowych faktorach (przemiennych ilorazach).

Nazwa pojęcia ma swoje źródło w teorii Galois, skąd pochodzi – pierwiastki wielomianu o współczynnikach z pewnego ciała można wyrazić za pomocą pierwiastników (elementów ciała połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiastkowania dowolnego stopnia naturalnego), gdy tzw. grupa Galois ciała rozkładu danego wielomianu jest rozwiązalna. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że grupy Galois ciała rozkładu wielomianów stopnia większego od 4 nie muszą być rozwiązalne, tzn. wśród wielomianów rzeczywistych dowolnego stopnia większego niż 4 istnieją wielomiany, których pierwiastki nie dają się przedstawić za pomocą pierwiastników. Przykładem może być następujący wielomian piątego stopnia: x^5 - x - 1.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Grupa G jest rozwiązalna, gdy istnieje ciąg podgrup

\{1\} = H_0 \subseteq H_1 \subseteq \cdots \subseteq H_{k-1} \subseteq H_k = G,

takich, że dla każdego 1 \leqslant i \leqslant k są spełnione warunki:

Warunki równoważne[edytuj | edytuj kod]

Czasami jako definicję podaje się również następujący, równoważny warunek:

Grupa G jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy G^{(n)} = \{1\} dla pewnej liczby n,

gdzie G^{(n)} oznacza n-tą pochodną grupy G. Najmniejszą taką liczbę n nazywa się stopniem rozwiązalności grupy G.

Jeżeli grupa G jest skończona, to jest ona rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy faktory ciągu kompozycyjnego grupy Ggrupami cyklicznymi rzędu, będącego liczbą pierwszą. Równoważność ta wynika z twierdzenia Jordana-Höldera.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Podgrupa grupy rozwiązalnej jest rozwiązalna.
  • Jeśli H \vartriangleleft G i grupa G jest rozwiązalna, to iloraz G/H również jest grupą rozwiązalną.
  • Jeżeli H \vartriangleleft G oraz grupy H i G/H są rozwiązalne, to G również jest grupą rozwiązalną.
  • Obraz homomorficzny grupy rozwiązalnej jest grupą rozwiązalną.
  • Iloczyn prosty grup rozwiązalnych jest grupą rozwiązalną.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Feita-Thompsona 
Każda skończona grupa rzędu nieparzystego jest rozwiązalna.
Twierdzenie Burnside'a 
Każda grupa rzędu p^a q^b jest rozwiązalna, gdzie p, q są liczbami pierwszymi, a a, b – nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.