Silnia

Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Definicja

Funkcję $\cdot\; !\colon \mathbb{N}_{0} \to \mathbb{N}_{+}$ definiuje się następująco:

$n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{dla }n\geqslant1.\,\!$

Wzór ten nie podaje wartości 0!, określamy ją osobno:

$0! = 1 \$.

Poniżej definicja rekurencyjna

$n!=\begin{cases} 1 & \mbox{ dla }n=0 \\ n\cdot(n-1)! & \mbox{ dla }n\geqslant1 \end{cases}$

Przykłady:

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

Wartość n! pozwala określić liczbę możliwych permutacji n elementów.

Obliczenia przybliżone

Silnia pojawia się w tak wielu praktycznych zastosowaniach matematyki (rachunek prawdopodobieństwa, statystyka), że szczególnej wagi nabiera problem szybkiego wyznaczania silni dużych liczb. Podane wyżej określenia silni nie nadają się do tego celu, dlatego na ogół wykorzystuje się przybliżony wzór Stirlinga:

$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

$\ln n! \approx n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2\pi n) \$

Przydatne jest również oszacowanie:

$n!=o(n^n) \$

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

$n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\alpha_n}$

gdzie

$\frac{1}{12n+1} \leqslant \alpha_n \leqslant \frac{1}{12n}$

Uogólnienia

Funkcja gamma

Uogólnieniem pojęcia silni jest funkcja gamma.

Silnia podwójna n!!

Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n. Silnię podwójną oznacza się n!!.

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

$n!!= \begin{cases} 1 & \mbox{ dla }n=0\mbox{ lub }n=1 \\ n\cdot(n-2)!! & \mbox{ dla }n\geqslant 2 \end{cases}$

Przykład:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Własności podwójnej silni:

$n!=n!!(n-1)!!\,\!$

$(2n)!!=2^nn!\,\!$

$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}\,\!$

zależność od funkcji gamma:

$\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}\,\!$

Uwaga:
W zapisie należy zawsze pamietać, że n!! oznacza silnię podwójną a nie silnię dla n!, która byłaby zapisana jako (n!)! i byłaby dużo większą liczbą od silni podwójnej dla tego samego n:

5!! = 15

(5!)! = 120! = 6 689 502 913 449 127 057 588 118 054 090 372 586 752 746 333 138 029 810 295 671 352 301 633 557 244 962 989 366 874 165 271 984 981 308 157 637 893 214 090 552 534 408 589 408 121 859 898 481 114 389 650 005 964 960 521 256 960 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ≈ 6,69·10¹⁹⁸ (liczba blisko 200-cyfrowa).

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną n!!! oraz ogólnie silnie k-tą, którą oznaczamy jako n!^(k). Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

$n!^{(k)}= \begin{cases} 1 & \mbox{ gdy }0\leqslant n<k \\ n\cdot(n-k)!^{(k)} & \mbox{ gdy }n\geqslant k \end{cases}$

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze:

$n!=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{ \alpha_{i} }=p_{1}^{ \alpha_{1} } \cdot p_{2}^{ \alpha_{2} } \cdot \ldots \cdot p_{k}^{ \alpha_{k} }$

to

$\mbox{ord}_{p_i}(n!) = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}}n\right\rfloor } \left\lfloor \frac{n}{p_{i}^{j}} \right\rfloor$

tzn. liczba pierwsza $p_{i}$ pojawia się z wykładnikiem:

$\alpha_{i} = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}}n\right\rfloor } \left\lfloor \frac{n}{p_{i}^{j}} \right\rfloor$

gdzie $\lfloor x \rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x$.

Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym n!, przy czym n jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

$f(n) = \sum_{i=1}^k \left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^3} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \frac{n}{5^k} \right \rfloor, \,$

gdzie k musi spełniać warunek

$5^{k} \leq n < 5^{k+1},\,$

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

$\left \lfloor \frac{26}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{26}{5^2} \right \rfloor = 5 + 1 = 6\,$

zerami. Jeżeli n < 5, nierówności są spełnione przez k = 0; w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Zobacz też

• symbol Newtona
• kombinatoryka
• wariacja
• permutacja
• kombinacja

Bibliografia

• Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, ss. 219.

Linki zewnętrzne

• http://factorielle.free.fr (ang.), (fr.), (cz.)