Ideał główny

Ideał główny - ideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli a jest elementem pierścienia R z jedynką, to:

• prawostronny ideał główny aR jest równy

$\{a \cdot b$ $\colon b \in R\}$,

• lewostronny ideał główny Ra jest równy

$\{b \cdot a$ $\colon b \in R\}$,

• dwustronny ideał główny RaR jest równy

$\{b_1 \cdot a \cdot b'_1 + \dots + b_n \cdot a \cdot b'_n \colon b_i, b'_i \in R\}$.

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element a pierścienia R oznacza się (a). Mówi się, że R jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w R są główne.

Własności

• Jeżeli a i b są niezerowymi elementami pierścienia R, to (a)=(b) wtedy i tylko wtedy, gdy $a\sim b$, przy czym $\sim$ oznacza relację stowarzyszenia tj. $a\sim b$ $\Leftrightarrow$ a dzieli b oraz b dzieli a.
• Jeżeli K jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów K[x] jest główny.

Przykłady

• Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ jest ideałem głównym i jest postaci

$(n)=\{n \cdot a \colon a \in \mathbb{Z}\}$.

• Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz $\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$. Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci $\left[\begin{smallmatrix} 0 & a \\ 0 & b \end{smallmatrix}\right]$, gdzie a i b są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci $\left[\begin{smallmatrix}c & d \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]$, gdzie c i d są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
• Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.

Bibliografia

• Jerzy Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.