Pierścień liczb całkowitych

Pierścień liczb całkowitych – w matematyce zbiór liczb całkowitych tworzących strukturę algebraiczną $\mathbb Z$ z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mnożenia. Stanowią one pierścień przemienny, którego są prawzorem poprzez fakt spełniania tylko tych równań, które zachodzą dla wszystkich pierścieni przemiennych z jedynką; istotnie, jest to początkowy pierścień przemienny, a nawet pierścień początkowy.

Algebraiczna teoria liczb

Ogólniej, pierścieniem liczb całkowitych ciała liczbowego $K,$ oznaczanego często symbolami $\operatorname O_K$ lub $\mathcal O_K,$ nazywa się pierścień liczb algebraicznych całkowitych zawartych w $K.$

Korzystając z tej notacji można napisać, iż $\mathbb Z = O_\mathbb Q,$ ponieważ $\mathbb Z,$ jak podano wyżej, jest pierścieniem liczb całkowitych ciało ciała $\mathbb Q$ liczb wymiernych. Z tego względu w algebraicznej teorii liczb elementy $\mathbb Z$ nazywa się często „wymiernymi liczbami całkowitymi”.

Alternatywny termin to rząd maksymalny, gdyż pierścień liczb całkowitych ciała liczbowego jest w istocie jednoznacznie wyznaczonym rzędem w ciele.^{[potrzebne źródło]}

Pierścień liczb całkowitych $\operatorname O_K$ jest $\mathbb Z$-modułem; nie do końca oczywistym jest fakt, iż jest to moduł wolny, a więc ma bazę całkowitoliczbową; oznacza to, że istnieje ciąg $b_1, \dots, b_n \in \operatorname O_K$ (baza całkowita liczbowa) taki, że każdy element $x$ należący do $\operatorname O_K$ może być jednoznacznie przedstawiony jako

$x = \sum_{i=1}^n a_i b_i,$

gdzie $a_i \in \mathbb Z.$ Ranga $n$ pierścienia $\operatorname O_K$ jako wolnego $\mathbb Z$-modułu jest równa stopniowi $K$ nad $\mathbb Q.$ Pierścienie liczb całkowitych w ciałach liczbowych są pierścieniami Dedekinda.

Przykłady

Jeśli $\zeta$ jest $p$-tym pierwiastkiem z jedynki zaś $K = \mathbb Q(\zeta)$ odpowiadającym mu ciałem cyklotomicznym, to baza całkowitoliczbowa $\operatorname O_K = \mathbb Z[\zeta]$ dana jest jako $\left(1, \zeta, \zeta^2, \dots, \zeta^{p-2}\right).$

Jeżeli $d$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą, zaś $K = \mathbb Q\left(\sqrt d\right)$ jest odpowiadającym ciałem kwadratowym, to baza całkowitoliczbowa $\operatorname O_K$ dana jest jako $\left(1, \tfrac{1 + \sqrt d}{2}\right),$ o ile $d \equiv 1\; \bmod\; 4$ oraz $\left(1, \sqrt d\right),$ jeśli $d \equiv 2,\, 3\; \bmod\; 4$ (zob. arytmetyka modularna).

Pierścień p-adycznych liczb całkowitych $\mathbb Z_p$ to pierścień liczb całkowitych liczb p-adycznych $\mathbb Q_p.$

Zobacz też

• liczby całkowite kwadratowe.

Bibliografia

• Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. T. 322. Berlin: Springer-Verlag, 1999, seria: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. MR1697859. ISBN 978-3-540-65399-8.