Pierścień liczb całkowitych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień liczb całkowitych – w matematyce zbiór liczb całkowitych tworzących strukturę algebraiczną \mathbb Z z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mnożenia. Stanowią one pierścień przemienny, którego są prawzorem poprzez fakt spełniania tylko tych równań, które zachodzą dla wszystkich pierścieni przemiennych z jedynką; istotnie, jest to początkowy pierścień przemienny, a nawet pierścień początkowy.

Algebraiczna teoria liczb[edytuj | edytuj kod]

Ogólniej, pierścieniem liczb całkowitych ciała liczbowego K, oznaczanego często symbolami \operatorname O_K lub \mathcal O_K, nazywa się pierścień liczb algebraicznych całkowitych zawartych w K.

Korzystając z tej notacji można napisać, iż \mathbb Z = O_\mathbb Q, ponieważ \mathbb Z, jak podano wyżej, jest pierścieniem liczb całkowitych ciało ciała \mathbb Q liczb wymiernych. Z tego względu w algebraicznej teorii liczb elementy \mathbb Z nazywa się często „wymiernymi liczbami całkowitymi”.

Alternatywny termin to rząd maksymalny, gdyż pierścień liczb całkowitych ciała liczbowego jest w istocie jednoznacznie wyznaczonym rzędem w ciele.[potrzebne źródło]

Pierścień liczb całkowitych \operatorname O_K jest \mathbb Z-modułem; nie do końca oczywistym jest fakt, iż jest to moduł wolny, a więc ma bazę całkowitoliczbową; oznacza to, że istnieje ciąg b_1, \dots, b_n \in \operatorname O_K (baza całkowita liczbowa) taki, że każdy element x należący do \operatorname O_K może być jednoznacznie przedstawiony jako

x = \sum_{i=1}^n a_i b_i,

gdzie a_i \in \mathbb Z. Ranga n pierścienia \operatorname O_K jako wolnego \mathbb Z-modułu jest równa stopniowi K nad \mathbb Q. Pierścienie liczb całkowitych w ciałach liczbowych są pierścieniami Dedekinda.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \zeta jest p-tym pierwiastkiem z jedynki zaś K = \mathbb Q(\zeta) odpowiadającym mu ciałem cyklotomicznym, to baza całkowitoliczbowa \operatorname O_K = \mathbb Z[\zeta] dana jest jako \left(1, \zeta, \zeta^2, \dots, \zeta^{p-2}\right).

Jeżeli d jest bezkwadratową liczbą całkowitą, zaś K = \mathbb Q\left(\sqrt d\right) jest odpowiadającym ciałem kwadratowym, to baza całkowitoliczbowa \operatorname O_K dana jest jako \left(1, \tfrac{1 + \sqrt d}{2}\right), o ile d \equiv 1\; \bmod\; 4 oraz \left(1, \sqrt d\right), jeśli d \equiv 2,\, 3\; \bmod\; 4 (zob. arytmetyka modularna).

Pierścień p-adycznych liczb całkowitych \mathbb Z_p to pierścień liczb całkowitych liczb p-adycznych \mathbb Q_p.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]