Jedynka aproksymacyjna

Jedynka aproksymacyjna (także: aproksymatywna; ang. approximate identity, dosł. „jedynka przybliżona”) – w analizie funkcjonalnej, szczególnie w teorii algebr Banacha, rodzina elementów przybliżająca jedynkę (element neutralny mnożenia) w algebrze Banacha, najczęściej bez jedynki.

Definicja

Prawostronną jedynką aproksymacyjną w algebrze Banacha $A$ jest ciąg uogólniony $\{e_{\lambda }\colon \lambda \in \Lambda \}$ taki, że dla każdego elementu $a\in A$ zachodzi

$\lim _{\lambda \in \Lambda }\lVert ae_{\lambda }-a\rVert =0.$

Podobnie definiujemy lewostronną jedynkę aproksymacyjną w algebrze Banacha $A$ jako ciąg uogólniony $\{e_{\lambda }\colon \lambda \in \Lambda \}$ taki, że dla każdego elementu $a\in A$ zachodzi

$\lim _{\lambda \in \Lambda }\lVert e_{\lambda }a-a\rVert =0.$

Jedynka aproksymacyjna to ciąg uogólniony, który jest zarówno prawostronną, jak i lewostronną jedynką aproksymacyjną.

Często do powyższych definicji dodaje się również wymóg ograniczoności lub przeliczalności rodziny elementów. Istnieją algebry Banacha, które nie mają jedynki aproksymacyjnej. Trywialnym przykładem jest dowolna przestrzeń Banacha $X$ zerowym mnożeniem, tj. $xy=0$ dla wszelkich $x,y\in X.$

Wykres kilku pierwszych jąder Fejéra

Algebry splotowe

Jedynka aproksymacyjna w algebrach splotowych odgrywa taką samą rolę jak ciąg funkcji aproksymujący deltę Diraca (która jest elementem neutralnym splotu). Przykładem takiej jedynki aproksymacyjnej może być jądro Fejéra w teorii szeregów Fouriera, czyli rodzina funkcji danych wzorem:

$F_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)e^{inx}$

dla $N$ naturalnych. Jest to jedynka aproksymacyjna na algebrze splotowej funkcji całkowalnych okresowych $L^{1}(\mathbb {T} )$.

C*-algebry

Domknięte ideały C*-algebr (a więc same C*-algebry bez jedynki) mają zawsze jedynki aproksymacyjne, które dodatkowo są quasicentralne. Dokładniej, jeżeli $J$ jest domkniętym ideałem C*-algebry $A,$ to istnieje taka jedynka aproksymacyjna $(x_{j})$ w $J,$ że dla wszelkich elementów $a\in A$ zachodzi

$\|ax_{j}-x_{j}a\|\to 0.$

Ponadto domknięta otoczka wypukła dowolnej jedynki aproksymacyjnej w $J$ zawiera jedynkę aproksymacyjną o powyższej własności.