C*-algebra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu C*) – zespolona algebra Banacha A z dodatkowym działaniem inwolucji *: AA (A jest więc *-algebrą), spełniającym warunek

(C*)  \;\;\|a^* a \| = \|a\|\|a^*\|\;\;\;(a\in A).

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznych obserwabli w mechanice kwantowej. C*-algebry będące podalgebrami algebry operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach trzydziestych XX wieku.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Algebra ℬ(H) wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na H ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest norma operatorowa). Operacja sprzężenia operatora TT* jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra ℬ(H) jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
  • Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta H tworzą domknięty ideał w algebrze ℬ(H) (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę ℬ(H)). Algebra K(H) operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra K(H) nie ma jedynki.
  • Niech K będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. W przestrzeni Banacha C0(K) złożonej z zespolonych funkcji ciągłych na K i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest norma supremum) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując f*(z) jako sprzężenie zespolone wartości f(z) dla każdego punktu z przestrzeni K. Przestrzeń C0(K) z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń K jest zwarta (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na K; w tym przypadku używa się zwykle symbolu C(K) zamiast C0(K)). Przestrzeń ℓ (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń ℓ jest izomorficzna z przestrzenią C(βω), gdzie βω oznacza uzwarcenie Čecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Podobnie, przestrzeń c0 jest algebrą postaci C0(K), gdzie K jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
  • W przypadku gdy A jest C*-algebrą oraz Mn oznacza algebrę macierzy kwadratowych stopnia n, to algebrę macierzy Mn(A) o współczynnikach z algebry A można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. podjednorodna C*-algebra).

Elementy normalne, samosprzężone i rzutowania[edytuj | edytuj kod]

Pojęcia operatora normalnego, samosprzężonego, rzutu rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie a C*-algebry A mówi się, że jest

  • normalny, gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj. aa* = a*a;
  • samosprzężony, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. a = a*;
  • rzutem, gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj. a = a* oraz a2 = a.

Klasyfikacja rzutów[edytuj | edytuj kod]

Istnieje naturalna relacja równoważności w rodzinie rzutów danej C*-algebry A. Dwa rzuty p, qArównoważne w sensie Murraya-von Neumanna (ozn. p ~ q), gdy istnieje taka częściowa izometria vA, że p = v*v i q = vv*. Rzuty dzieli się na skończone i nieskończone. Rzut p w C*-algebrze A jest

  • nieskończony, gdy p ~ q dla pewnego właściwego rzutu qA spełniającego qp,
  • skończony, gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty nieskończone w sposób właściwy, tj. takie rzuty p, dla których istnieją takie dwa rzuty p1, p2A, że p1p2 = 0 (wzajemna ortogonalność), p1 + p2p oraz p ~ p1 ~ p2.

Dla niezerowego rzutu pA następujące warunki są równoważne:

  1. p jest nieskończony w sposób właściwy,
  2. ppp,
  3. istnieją takie częściowe izometrie s1, s2A, że s1*s1 + s2*s2 = p oraz s1s1* + s2s2* ≤ p,
  4. obraz p w dowolnej algebrze ilorazowej A poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka algebry Toepliza, tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na 2(N).

Elementy normalne i twierdzenie spektralne[edytuj | edytuj kod]

Każdy element samosprzężony jest normalny. Twierdzenie spektralne rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego a, tj. pozwala zdefiniować ściśle element f(a), gdzie f jest zespoloną funkcją ciągłą określoną na widmie a.

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci C0(K), to jej rzutami są funkcje będące funkcjami charakterystycznymi domknięto-otwartych podzbiorów K (jeżeli przestrzeń K jest spójna i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

Własności spektralne[edytuj | edytuj kod]

  • Promień spektralny elementu normalnego jest równy jego normie.
  • W przypadku, gdy C*-algebra A ma jedynkę, to widmo elementu odwracalnego w A jest zawarte w okręgu jednostkowym.
  • Element a C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • Jeżeli A i B są C*-algebrami, AB oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu a algebry A (względem algebry A) jest takie samo jak jego widmo względem algebry B. Innymi słowy, widmo a nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

Elementy unitarne, twierdzenie Russo-Dyego[edytuj | edytuj kod]

Element u C*-algebry A (z jedynką 1) jest unitarny, gdy uu* = 1 (równoważnie, u*u = 1, bądź u* = u-1). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęcie macierzy czy operatora unitarnego. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie[1].

Twierdzenie Russo-Dyego: Niech A będzie C*-algebrą z jedynką oraz U niech będzie zbiorem elementów unitarnych w A. Wówczas domknięta kula jednostkowa BA jest równa domknięciu otoczki wypukłej zbioru U, tj.
B_A = \overline{\mbox{conv}}\,U.

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera[2].

Dowód. Niech xA oraz ||x|| < 1. Wystarczy uzasadnić, że x należy do domknięcia zbioru conv U. To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego uU element y = (x + u)/2 należy do domknięcia conv U. Rzeczywiście,
y = [(x · u-1 + 1)/2] · u.
Ponieważ ||x · u-1|| = ||x|| < 1, więc element (x · u-1 + 1) jest odwracalny, skąd również y jest elementem odwracalnym. Element y jest więc postaci y = v|y|, gdzie v jest pewnym elementem unitarnym oraz
(y*y)1/2 = |y| = (w + w*) / 2,
gdzie w = |y| + i(1 – |y|2)1/2 jest również unitarne. Dowodzi, to że BAUU + U. Z powyższego wynika więc, że U zawiera się w zbiorze 2 · cl(conv U) – x, który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie conv U. Równoważnie, (x + cl(conv U)) / 2 ⊆ cl(conv U). Ciąg (xn) ⊆ cl(conv U) zdefiniwany rekurencyjnie: x0 – dowolny element U oraz xn+1 = (x + xn) / 2 jest zbieżny do x. □

Dodatniość, stany[edytuj | edytuj kod]

O operatorze T na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest dodatni (czasem ściślej: nieujemny), gdy dla każdego elementu x z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

\langle Tx, x\rangle \geqslant 0.

Dodatniość operatora T jest równoważna istnieniu takiego operatora S, że T = S S*. Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie elementu dodatniego w C*-algebrze A jako takiego, który można przedstawić w postaci a = bb* dla pewnego elementu b C*-algebry A. Dla elementu a C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

  1. a jest elementem dodatnim;
  2. widmo elementu a zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;
  3. istnieje taki element samosprzężony h w C*-algebrze A, że a = h2.

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy stożek, oznaczany czasem symbolem A+. Stożek ten jest domknięty i wypukły oraz spełnia warunek A+ ∩ -A+ = {0}. W stożku A+ definiuje się porządek częściowy warunkiem ab wtedy i tylko wtedy, gdy element ba jest dodatni.

Funkcjonał liniowy φ na C*-algebrze A jest nazywany dodatnim, gdy dla każdego elementu dodatniego a z A spełniony jest warunek φ(a) ≥ 0. Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest stanem. Stan różnowartościowy nazywany jest wiernym.

Funkcjonał dodatni φ na C*-algebrze A spełnia następujące warunki dla dowolnych elementow a, b z A:

  1. \varphi(a^*b)=\overline{\varphi(b^*a)};
  2. |\varphi(b^*a)|^2\leqslant \varphi(a^* a)\cdot \varphi (b^* b).

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją nierówności Cauchy'ego-Schwarza. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

Reprezentacje[edytuj | edytuj kod]

Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. Reprezentacją C*-algebry A nazywa się parę (H, π), gdzie H jest pewną przestrzenią Hilberta oraz π: A → ℬ(H) jest *-homomorfizmem (tj. homomorfizmem algebr zachowującym inwolucję; π(a*) = (π(a))* dla dowolnego aA) o wartościach w *-algebrze ℬ(H) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na H (ℬ(H) z normą operatorową jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się być reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji (H, π) C*-algebry A mówi się, że jest

  • niezdegenerowana, gdy o ile tylko dla każdego aA, ξ jest takim elementem H, że π(a)ξ = 0, to ξ musi być wektorem zerowym;
  • cykliczna, jeżeli istnieje taki element ξH, że zbiór {π(a)ξ: aA} jest gęsty w H (wektor ξ nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji (H, π); każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);
  • wierna, gdy π jest monomorfizmem, tj. jeżeli π(a) = 0, to a = 0;
  • nieprzywiedlna, gdy rodzina operatorów π(A) = {π(a): aA} nie ma wspólnej, domkniętej, nietrywialnej (tj. różnej od {0} i H) podprzestrzeni niezmienniczej.
Dla reprezentacji π: A → ℬ(H) następujące warunki są równoważne:
    • π jest nieprzywiedlna,
    • π(A)′ = {cI: c jest liczbą zespoloną}
    • π(A)′′ = ℬ(H),
    • π(A) jest gęste w ℬ(H) w mocnej topologii operatorowej.

Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr:

Aproksymowanie jedności, ideały, C*-algebry ilorazowe[edytuj | edytuj kod]

Każda C*-algebra ma aproksymowalną jedność składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze A istnieje taki ciąg uogólniony (eα)α złożony z elementów samosprzężonych (e*α=eα), że dla dowolnego aA zachodzi

lim x eα = lim eα x = x.

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają jedności (gdy A ma jedność e, można przyjąć eα = e). W przypadku, gdy J jest domkniętym ideałem (obustronnym) w C*-algebrze A, dla każdego elementu xJ istnieje taki ciąg (fn) elementów J o następujących własnościach:

  1. widmo każdego elementu fn zawarte jest w przedziale [0,1];
  2. lim x fn = x

(gdy A ma jedność, wystarczy zdefiniować fn, używając ciągłego rachunku funkcyjnego, wzorem fn = n x2(e + nx2)-1). Używając tego faktu dowodzi się, że

Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli J jest domkniętym ideałem w C*-algebrze A oraz (fn)n oraz xJ, to x = lim x fn. Z drugiej strony, x* = lim fnx*, fnx* ∈ J oraz J jest domknięty, więc x* ∈ J.

Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry A przez domknięty ideał J inwolucję wzorem: [x]* = [x*] (xA). Tak zadana inwolucja w A / J spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być C*-algebry proste (C*-algebra A jest prosta, gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny {0} oraz ideał niewłaściwy A). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe B / J, gdzie B jest pewną C*-algebrą oraz J jest jej ideałem maksymalnym. Przykładem jest algebra Calkina, tj. C*-algebra ℬ(H) / K(H), gdzie H jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, a K(H) oznacza ideał operatorów zwartych na H. Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np. algebry Cuntza On.

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne ideały lewostronne. Jeżeli φ jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze A, to zbiór

N_\varphi = \{a\in A\colon \varphi(a^*a)=0\}\,

jest ideałem lewostronnym w A. W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

Iloczyny tensorowe C*-algebr[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Iloczyny tensorowe C*-algebr.

Niech A i B będą C*-algebrami. Algebraiczny iloczyn tensorowy AB ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma ||·|| w AB spełniająca warunek (C*) jest normą krzyżową przestrzeni Banacha, tj.

\|x\otimes y\| = \|x\|_A\cdot \|y\|_B\;\;(x\in A, y\in B).[3].

Projektywny iloczyn tensorowy ⊗π (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

Przypisy

  1. B. Russo and H. A. Dye, A note on unitary operators in C*-algebras, Duke Math. J. 33 (1966), 413-416.
  2. L.T. Gardner, An Elementary proof of the Russo-Dye Theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 90 (1984), 171.
  3. B. J. Vowden, C*-Norms and tensor products of C*-algebras, J. London Math. Soc. (2), 7(1974), 595-596.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Arveson, An Invitation to C*-algebra. Graduate Texts in Mathematics No.39. Springer-Verlag, 1976.
  • J. Dixmier, C*-Algebras, North Holland 1977.
  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
  • M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.