C*-algebra

C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu C*) – zespolona algebra Banacha A z dodatkowym działaniem inwolucji *: A → A (A jest więc *-algebrą), spełniającym warunek

(C*) $\;\;\|a^* a \| = \|a\|\|a^*\|\;\;\;(a\in A).$

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznych obserwabli w mechanice kwantowej. C*-algebry będące podalgbrami algebry operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach trzydziestych XX-ego wieku.

Przykłady

• Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Algebra B(H) wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na H ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest norma operatorowa). Operacja sprzężenia operatora T → T* jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra B(H) jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
• Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta H tworzą domknięty ideał w algebrze B(H) (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę B(H)). Algebra K(H) operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra K(H) nie ma jedynki.
• Niech K będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. W przestrzeni Banacha C₀(K) złożonej z zespolonych funkcji ciągłych na K i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest norma supremum) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując f*(z) jako sprzężenie zespolone wartości f(z) dla każdego punktu z przestrzeni K. Przestrzeń C₀(K) z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń K jest zwarta (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na K; w tym przypadku używa się zwykle symbolu C(K) zamiast C₀(K)). Przestrzeń ℓ_∞ (z działaniami mnożenia i inowolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń ℓ_∞ jest izomorficzna z przestrzenią C(βω), gdzie βω oznacza uzwarcenie Čecha-Stone'a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Podobnie, przestrzeń c₀ jest algebrą postaci C₀(K), gdzie K jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
• W przypadku gdy A jest C*-algebrą oraz M_n oznacza algebrę macierzy kwadratowych stopnia n, to algebrę macierzy M_n(A) o współczynnikach z algebry A można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. podjednorodna C*-algebra).

Elementy normalne, samosprzężone i rzutowania

Pojęcia operatora normalnego, samosprzężonego, rzutu rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie a C*-algebry A mówi się, że jest

• normalny, gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj. aa* = a*a;
• samosprzężony, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. a = a*;
• rzutem, gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj. a = a* oraz a² = a.

Klasyfikacja rzutów

Istnieje naturalna relacja równoważności w rodzinie rzutów danej C*-algebry A. Dwa rzuty p, q ∈ A są równoważne w sensie Murray'a-von Neumanna (ozn. p ~ q), gdy istnieje taka częściowa izometria v ∈ A, że p = v*v i q = vv*. Rzuty dzieli się na skończone i nieskończone. Rzut p w C*-algebrze A jest

• nieskończony, gdy p ~ q dla pewnego właściowego rzutu q ∈ A spełniającego q ≤ p,
• skończony, gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty nieskończone w sposób właściwy, tj. takie rzuty p dla których istnieją takie dwa rzuty p₁, p₂ ∈ A, że p₁p₂ = 0 (wzajemna ortogonalność), p₁ + p₂ ≤ p oraz p ~ p₁ ~ p₂.

Dla niezerowego rzutu p ∈ A następujące warunki są równoważne:

1. p jest nieskończony w sposób właściwy,
2. p ⊕ p ≤ p,
3. istnieją takie częściowe izometrie s₁, s₂ ∈ A, że s₁*s₁ + s₂*s₂ = p oraz s₁s₁* + s₂s₂* ≤ p,
4. obraz p w dowolnej algebrze ilorazowej A poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka algebry Toepliza, tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na ℓ₂(N).

Elementy normalne i twierdzenie spektralne

Każdy element samosprzężony jest normalny. Twierdzenie spektralne rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego a, tj. pozwala zdefiniować ściśle element f(a), gdzie f jest zespoloną funkcją ciągłą określoną na widmie a.

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci C₀(K), to jej rzutami są funkcje będące funkcjami charakterystycznymi domknięto-otwartych podzbiorów K (jeżeli przestrzeń K jest spójna i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

Własności spektralne

• Promień spektralny elementu normalnego jest równy jego normie.
• W przypadku, gdy C*-algebra A ma jedynkę, to widmo elementu odwracalnego w A jest zawarte w okręgu jednostkowym.
• Element a C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorze liczb rzeczywistych.
• Jeżeli A i B są C*-algebrami, A⊆B oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu a algebry A (względem algebry A) jest takie samo jak jego widmo względem algebry B. Innymi słowy, widmo a nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

Elementy unitarne, twierdzenie Russo-Dye'go

Element u C*-algebry A (z jedynką 1) jest unitarny, gdy uu* = 1 (równoważnie, u*u = 1, bądź u* = u^-1). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęcie macierzy czy operatora unitarnego. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie.

Twierdzenie Russo-Dye'go: Niech A będzie C*-algebrą z jedynką oraz U niech będzie zbiorem elementów unitarnych w A. Wówczas domknięta kula jednostkowa B_A jest równa domknięciu otoczki wypukłej zbioru U, tj.

$B_A = \overline{\mbox{conv}}\,U.$

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera.

Dowód. Niech x ∈ A oraz ||x|| < 1. Wystarczy uzasadnić, że x należy do domknięcia zbioru conv U. To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego u ∈ U element y = (x + u)/2 należy do domknięcia conv U. Rzeczywiście,

y = [(x · u^-1 + 1)/2] · u.

Ponieważ ||x · u^-1|| = ||x|| < 1, więc element (x · u^-1 + 1) jest odwracalny, skąd również y jest elementem odwracalnym. Element y jest więc postaci y = v|y|, gdzie v jest pewnym elementem unitarnym oraz

(y*y)^1/2 = |y| = (w + w*) / 2,

gdzie w = |y| + i(1 - |y|²)^1/2 jest również unitarne. Dowodzi, to że B_A - U ⊆ U + U. Z powyższego wynika więc, że U zawiera się w zbiorze 2 · cl(conv U) - x, który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie conv U. Równoważnie, (x + cl(conv U)) / 2 ⊆ cl(conv U). Ciąg (x_n) ⊆ cl(conv U) zdefiniwany rekurencyjnie: x₀ - dowolny element U oraz x_n+1 = (x + x_n) / 2 jest zbieżny do x. □

Dodatniość, stany

O operatorze T na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest dodatni (czasem ściślej: nieujemny), gdy dla każdego elementu x z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

$\langle Tx, x\rangle \geqslant 0$.

Dodatniość operatora T jest równoważna istnieniu takiego operatora S, że T = S S*. Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie elementu dodatniego w C*-algebrze A jako takiego, który można przedstawić w postaci a = bb* dla pewnego elementu b C*-algebry A. Dla elementu a C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

1. a jest elementem dodatnim;
2. widmo elementu a zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;
3. istnieje taki element samosprzężony h w C*-algebrze A, że a = h².

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy stożek, oznaczany czasem symbolem A₊. Stożek ten jest domknięty i wypukły oraz spełnia warunek A₊ ∩ -A₊ = {0}. W stożku A₊ definiuje się porządek częściowy warunkiem a ≤ b wtedy i tylko wtedy, gdy element b - a jest dodatni.

Funkcjonał liniowy φ na C*-algebrze A jest nazywany dodatnim, gdy dla każdego elementu dodatniego a z A spełniony jest warunek φ(a) ≥ 0. Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest stanem. Stan różnowartościowy nazywany jest wiernym.

Funkcjonał dodatni φ na C*-algebrze A spełnia następujące warunki dla dowolnych elementow a, b z A:

1. $\varphi(a^*b)=\overline{\varphi(b^*a)}$;
2. $|\varphi(b^*a)|^2\leqslant \varphi(a^* a)\cdot \varphi (b^* b)$.

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją nierówności Cauchy'ego-Schwarza. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne - te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

Reprezentacje

Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. Reprezentacją C*-algebry A nazywa się parę (H, π), gdzie H jest pewną przestrzenią Hilberta oraz π: A → B(H) jest *-homomorfizmem (tj. homomorfizmem algebr zachowującym inwolucję; π(a*) = (π(a))* dla dowolnego a ∈ A) o wartościach w *-algebrze B(H) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na H (B(H) z normą operatorową jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się być reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji (H, π) C*-algebry A mówi się, że jest

• niezdegenerowana, gdy o ile tylko dla każdego a ∈ A, ξ jest takim elementem H, że π(a)ξ = 0, to ξ musi być wektorem zerowym;
• cykliczna, jeżeli istnieje taki element ξ ∈ H, że zbiór {π(a)ξ: a ∈ A} jest gęsty w H (wektor ξ nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji (H, π); każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);
• wierna, gdy π jest monomorfizmem, tj. jeżeli π(a) = 0, to a = 0;
• nieprzywiedlna, gdy rodzina operatorów π(A) = {π(a): a ∈ A} nie ma wspólnej, domkniętej, nietrywialnej (tj. różnej od {0} i H) podprzestrzeni niezmienniczej.

Dla reprezentacji π: A → B(H) następujące warunki są równoważne:

• π jest nieprzywiedlna,
• π(A)′ = {cI: c jest liczbą zespoloną}
• π(A)′′ = B(H),
• π(A) jest gęste w B(H) w mocnej topologii operatorowej.

Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr:

• Twierdzenie Gelfanda-Najmarka mówi, że każda przemienna C*-algebra A jest *-izomorficzna z C*-algebrą postaci C₀(K) dla pewnej lokalnie-zwartej przestrzeni Hausdorffa K. W istocie, przestrzeń K jest przestrzenią Gelfanda C*-algebry A (tj. transformata Gelfanda Γ: A → C₀(K) jest epimorfizmem).
• Twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala mówi, że każda C*-algebra A ma wierną reprezentację na pewnej przestrzeni Hilberta H; innymi słowy, każda C*-algebra jest *-izomorficzna z pewną pod-C*-algebrą algebry B(H) dla pewnej przestrzeni Hilberta H.

Aproksymowanie jedności, ideały, C*-algebry ilorazowe

Każda C*-algebra ma aproksymowalną jedność składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze A istnieje taki ciąg uogólniony (e_α)_α złożony z elementów samosprzężonych (e*_α=e_α), że dla dowolnego a ∈ A zachodzi

lim x e_α = lim e_α x = x.

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają jedności (gdy A ma jedność e, można przyjąć e_α = e). W przypadku, gdy J jest domkniętym ideałem (obustronnym) w C*-algebrze A, dla każdego elementu x ∈ J istnieje taki ciąg (f_n) elementów J o następujących własnościach:

1. widmo każdego elementu f_n zawarte jest w przedziale [0,1];
2. lim x f_n = x

(gdy A ma jedność, wystarczy zdefiniować f_n, używając ciągłego rachunku funkcyjnego, wzorem f_n = n x²(e + nx²)^-1). Używając tego faktu dowodzi się, że

Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli J jest domkniętym ideałem w C*-algebrze A oraz (f_n)_n oraz x ∈ J, to x = lim x f_n. Z drugiej strony, x* = lim f_nx*, f_nx* ∈ J oraz J jest domknięty, więc x* ∈ J.

Zamkniętość domkniętych ideałów na inowolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry A przez domknięty ideał J inwolucję wzorem: [x]* = [x*] (x ∈ A). Tak zadana inwolucja w A / J spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być C*-algebry proste (C*-algebra A jest prosta, gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny {0} oraz ideał niewłaściwy A). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe B / J, gdzie B jest pewną C*-algebrą oraz J jest jej ideałem maksymalnym. Przykładem jest algebra Calkina, tj. C*-algebra B(H) / K(H), gdzie H jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, a K(H) oznacza ideał operatorów zwartych na H. Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np. algebry Cuntza O_n.

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne ideały lewostronne. Jeżeli φ jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze A, to zbiór

$N_\varphi = \{a\in A\colon \varphi(a^*a)=0\}\,$

jest ideałem lewostronnym w A. W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

Iloczyny tensorowe C*-algebr

Niech A i B będą C*-algebrami. Algebraiczny iloczyn tensorowy A ⊗ B ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma ||·|| w A ⊗ B spełniająca warunek (C*) jest normą krzyżową przestrzeni Banacha, tj.

$\|x\otimes y\| = \|x\|_A\cdot \|y\|_B\;\;(x\in A, y\in B).$.

Projektywny iloczyn tensorowy ⊗_π (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

Bibliografia

• W. Arveson, An Invitation to C*-algebra. Graduate Texts in Mathematics No.39. Springer-Verlag, 1976.
• J. Dixmier, C*-Algebras, North Holland 1977.
• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.