Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna – tożsamość trygonometryczna postaci:

$\sin^2x+\cos^2x=1\$

Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta $x \in R$, a także ogólniej dla argumentów zespolonych.

Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

$\sec^2 x - \mbox{tg}^2 x = 1\;$

$\csc^2 x - \mbox{ctg}^2 x = 1\;$

Dowód

Sposób 1.:

Niech $P=(x_{0},y_{0}),\, O=(0,0),\, X_{0}=(x_{0},0),\, \angle{POX_{0}}=\alpha,\, |OP|=r.$

Zauważmy, że:

$|\angle{PX_{0}O}|=\frac{\pi}{2}$,

więc trójkąt $POX_{0}\$ jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej r.

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$r^{2}=|x_{0}|^{2}+|y_{0}|^{2}\$

$r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\$

$1=\left(\frac{x_{0}}{r}\right)^{2}+\left(\frac{y_{0}}{r}\right)^{2}$

Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie

$\left(\frac{x_{0}}{r}\right)^{2}+\left(\frac{y_{0}}{r}\right)^{2}\$

jest równe

$\sin^2 {\alpha}+\cos^2{\alpha}\$.

Zatem

$\sin^2 {\alpha} + \cos^2 {\alpha}=1\$

c.b.d.o.

Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Sposób 2.:

Ze wzoru Eulera:

$\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

oraz

$\cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Zatem

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2}+\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2}$

$=\frac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}+\frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}$ $=\frac{2+2}{4}=1$

c.b.d.o.

Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.

Zobacz też

• funkcje trygonometryczne
• jedynka hiperboliczna