Jedynka trygonometryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Jedynka trygonometrycznatożsamość trygonometryczna postaci[1]:

\sin^2x+\cos^2x=1\

Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta x \in R, a także ogólniej dla argumentów zespolonych.

Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

 \sec^2 x - \mbox{tg}^2 x = 1\;
 \csc^2 x - \mbox{ctg}^2 x = 1\;

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Sposób 1.:

Jedynka trygonometryczna.svg

Niech P=(x_{0},y_{0}),\, O=(0,0),\, X_{0}=(x_{0},0),\, \angle{POX_{0}}=\alpha,\, |OP|=r.

Zauważmy, że:

|\angle{PX_{0}O}|=\frac{\pi}{2},

więc trójkąt POX_{0}\ jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej r.

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

r^{2}=|x_{0}|^{2}+|y_{0}|^{2}\
r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\
1=\left(\frac{x_{0}}{r}\right)^{2}+\left(\frac{y_{0}}{r}\right)^{2}

Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie

\left(\frac{x_{0}}{r}\right)^{2}+\left(\frac{y_{0}}{r}\right)^{2}\

jest równe

\sin^2 {\alpha}+\cos^2{\alpha}\ .

Zatem

\sin^2 {\alpha} + \cos^2 {\alpha}=1\

c.b.d.o.

Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Sposób 2.:

Ze wzoru Eulera:

\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

oraz

\cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Zatem

\sin^2{x}+\cos^2{x}=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2}+\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2}
=\frac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}+\frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4} =\frac{2+2}{4}=1

c.b.d.o.

Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.

Źródła[edytuj | edytuj kod]

  1. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 183. ISBN 83-7469-189-1.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]