Twierdzenie Pitagorasa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Animacja ilustrująca twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasatwierdzenie geometrii euklidesowej dotyczące trójkątów prostokątnych, równoważne w istocie jest piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych. W zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisuje się je żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, jednak odkrycia dokonali Babilończycy, którzy znali dodatkowo dwie prostsze metody, przy których błąd jest niewielki[1]. Niemal pewne jest, że znali je przed Pitagorasem starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed nim znano je w starożytnych Chinach i Indiach.

Nie musi być ono prawdziwe dla „rzeczywistych” trójkątów mierzonych we wszechświecie, w geometrii nieeuklidesowej. Jednym z pierwszych matematyków, którzy zdali sobie z tego sprawę był Carl Friedrich Gauss, który bardzo starannie mierzył wielkie trójkąty w swoich badaniach geograficznych, aby sprawdzić prawdziwość twierdzenia. Na powierzchni kuli twierdzenie to nie zachodzi, gdyż obowiązuje tam geometria sferyczna będąca szczególnym przypadkiem nieeuklidesowej geometrii Riemanna. Ogólna teoria względności mówi, że w polach grawitacyjnych twierdzenie jest fałszywe, gdyż tam także obowiązuje zmodyfikowana geometria Riemanna. Również w olbrzymich skalach kosmicznych to twierdzenie może być fałszywe w związku z krzywizną przestrzeni w wielkiej skali − problem krzywizny jest jednym z otwartych problemów.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Trójkąt prostokątny o bokach a, b i c

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość

a^2 + b^2 = c^2.

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

Dowody[edytuj | edytuj kod]

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Układanka[edytuj | edytuj kod]

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b i c jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Dowód - układanka

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Przez podobieństwo[edytuj | edytuj kod]

"Trójkąty podobne"

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – \triangle ABC, "różowy" – \triangle ADC i "niebieski" – \triangle DBC są podobne. Niech |AB| = c, |BC| = a i |AC| = b. Można napisać proporcje:

{|DB| \over a} = {a \over c},
{|AD| \over b} = {b \over c}.

Stąd:

a^2 = c \cdot |DB|
b^2 = c \cdot |AD|

i po dodaniu stronami:

a^2 + b^2 = c \cdot |DB| + c \cdot |AD| = c (|DB| + |AD|) = c^2.

Z przystawania[edytuj | edytuj kod]

Jeden z dowodów Euklidesa

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego \triangle ABC są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu \Box ACJK jest równe podwojonemu polu trójkąta \triangle KAB – podstawą trójkąta \triangle KAB jest bok KA kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi CA tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta AEGD jest równe podwojonemu polu trójkąta \triangle CAE – podstawą trójkąta \triangle CAE jest bok AE prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi EG prostokąta. Jednak trójkąty \triangle KAB i \triangle CAEprzystające, co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – |KA| = |CA|, |AB| = |AE| i kąt \sphericalangle KAB jest równy kątowi \sphericalangle CAE – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu \Box ACJK jest równe polu prostokąta AEGD.

Analogicznie, rozważając trójkąty \triangle CBF i \triangle HBA można udowodnić, że pole kwadratu \Box CBHI jest równe polu prostokąta BFGD. Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu \Box AEFB.

Dowód Garfielda[edytuj | edytuj kod]

"Ilustracja dowodu Garfielda"

Autorem innego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten jest równoważny dowodowi podanemu wyżej w sekcji Dowód - układanka. Pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej |BC|=a danego trójkąta prostokątnego \triangle ABC odkładamy |CD|=|AB|=b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy |ED| = |BC|=a. Trójkąt \triangle ACE jest prostokątny ( \sphericalangle ACE=180^\circ-\sphericalangle ACB-\sphericalangle ECD=180^\circ-\sphericalangle ACB-\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABC=90^\circ) i równoramienny, a jego pole wynosi {|AC|^2 \over 2} = {c^2 \over 2}; pola trójkątów \triangle ABC i \triangle CDE są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie 2 \cdot {ab \over 2}. Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE o polu \tfrac{(b+a)(a+b)}{2}. Stąd równości:

{(b+a)(a+b) \over 2} = {c^2 \over 2} + 2 \cdot {ab \over 2},
(b+a)(a+b) = c^2 + 2 \cdot ab,
a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2\cdot ab,
\mathbf a^2 + \mathbf b^2 = \mathbf c^2 \,

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Kąt prosty w trójkącie egipskim

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a, b i c takie, że a^2 + b^2 = c^2, to istnieje trójkąt o bokach długości a, b i c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3 i 4.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt \triangle ABC o bokach odpowiednio:

|BC| = a , |AC| = b , |AB| = c

spełniający warunek:

a^2 + b^2 = c^2 .

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt \triangle KLM taki że:

|KL| = a , |KM| = b

oraz

\sphericalangle LKM = 90^\circ

Trójkąt \triangle KLM jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok LM :

|LM|^2 = a^2 + b^2

z trójkąta ABC mamy:

|LM|^2 = a^2 + b^2 = c^2

zatem:

|LM| = c

Okazało się, że:

|BC| = a = |KL| , |AC| = b = |KM| , |AB| = c = |LM|

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty \triangle ABC i \triangle KLM są przystające. Z faktu, iż trójkąt \triangle KLM jest prostokątny wynika, że trójkąt \triangle ABC jest prostokątny.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

Twierdzenie cosinusów[edytuj | edytuj kod]

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów i znane było już w starożytności:

Jeśli w trójkącie o bokach długości a, b i c oznaczyć przez \gamma miarę kąta leżącego naprzeciw boku c, to prawdziwa jest równość:
a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma = c^2\,.

Twierdzenie Dijkstry o trójkątach[edytuj | edytuj kod]

Trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów zgrabnie sformułował Edsger Dijkstra:
Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości a, b i c znajdują się odpowiednio kąty \alpha, \beta, \gamma, to zachodzi równość:

\operatorname{sgn}(\alpha + \beta - \gamma) = \operatorname{sgn}(a^2 + b^2 - c^2),

gdzie \operatorname{sgn} oznacza funkcję signum.

Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową[edytuj | edytuj kod]

Niech V będzie przestrzenią euklidesową oraz x,y\in V. Jeśli x\perp y, to \|x\|^2+\|y\|^2=\|x+y\|^2.

Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. A.T.Olmstead, Dzieje imperium perskiego, PIW, Warszawa 1974, s. 31, 206

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Wikimedia Commons