Twierdzenie Pitagorasa

Animacja ilustrująca twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie geometrii euklidesowej dotyczące trójkątów prostokątnych, równoważne w istocie jest piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych. W zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisuje się je żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

Nie musi być ono prawdziwe dla „rzeczywistych” trójkątów mierzonych we wszechświecie, w geometrii nieeuklidesowej. Jednym z pierwszych matematyków, którzy zdali sobie z tego sprawę był Carl Friedrich Gauss, który bardzo starannie mierzył wielkie trójkąty w swoich badaniach geograficznych, aby sprawdzić prawdziwość twierdzenia. Na powierzchni kuli twierdzenie to nie zachodzi, gdyż obowiązuje tam geometria sferyczna będąca szczególnym przypadkiem nieeuklidesowej geometrii Riemanna. Ogólna teoria względności mówi, że w polach grawitacyjnych twierdzenie jest fałszywe, gdyż tam także obowiązuje zmodyfikowana geometria Riemanna. Również w olbrzymich skalach kosmicznych to twierdzenie może być fałszywe w związku z krzywizną przestrzeni w wielkiej skali − problem krzywizny jest jednym z otwartych problemów.

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość

$a^2 + b^2 = c^2.$

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

Dowody

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Układanka

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $a, b$ i $c$ jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości $a + b$ w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Przez podobieństwo

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – $\triangle ABC$, "różowy" – $\triangle ADC$ i "niebieski" – $\triangle DBC$ są podobne. Niech $|AB| = c, |BC| = a$ i $|AC| = b$. Można napisać proporcje:

${|DB| \over a} = {a \over c}$,

${|AD| \over b} = {b \over c}$.

Stąd:

$a^2 = c \cdot |DB|$

$b^2 = c \cdot |AD|$

i po dodaniu stronami:

$a^2 + b^2 = c \cdot |DB| + c \cdot |AD| = c (|DB| + |AD|) = c^2$.

Z przystawania

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego $\triangle ABC$ są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość $CD$ dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu $\Box ACJK$ jest równe podwojonemu polu trójkąta $\triangle KAB$ – podstawą trójkąta $\triangle KAB$ jest bok $KA$ kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi $CA$ tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta $AEGD$ jest równe podwojonemu polu trójkąta $\triangle CAE$ – podstawą trójkąta $\triangle CAE$ jest bok $AE$ prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi $EG$ prostokąta. Jednak trójkąty $\triangle KAB$ i $\triangle CAE$ są przystające, co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – $|KA| = |CA|, |AB| = |AE|$ i kąt $\sphericalangle KAB$ jest równy kątowi $\sphericalangle CAE$ – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu $\Box ACJK$ jest równe polu prostokąta $AEGD$.

Analogicznie, rozważając trójkąty $\triangle CBF$ i $\triangle HBA$ można udowodnić, że pole kwadratu $\Box CBHI$ jest równe polu prostokąta $BFGD$. Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu $\Box AEFB$.

Dowód Garfielda

Autorem innego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten jest równoważny dowodowi podanemu wyżej w sekcji Dowód - układanka. Pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej $|BC|=a$ danego trójkąta prostokątnego $\triangle ABC$ odkładamy $|CD|=|AB|=b$, a następnie na prostej $ED$ równoległej do $AB$ odkładamy $|BC|=a$. Trójkąt $\triangle ACE$ jest prostokątny $( \sphericalangle ACE=180^\circ-\sphericalangle ACB-\sphericalangle ECD$$=180^\circ-\sphericalangle ACB-\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABC=90^\circ)$ i równoramienny, a jego pole wynosi ${|AC|^2 \over 2} = {c^2 \over 2}$; pola trójkątów $\triangle ABC$ i $\triangle CDE$ są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie $2 \cdot {ab \over 2}$. Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez $ABDE$ o polu $\tfrac{(b+a)(a+b)}{2}$. Stąd równości:

${(b+a)(a+b) \over 2} = {c^2 \over 2} + 2 \cdot {ab \over 2},$

$(b+a)(a+b) = c^2 + 2 \cdot ab,$

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2\cdot ab,$

$\mathbf a^2 + \mathbf b^2 = \mathbf c^2 \,$

Twierdzenie odwrotne

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby $a, b$ i $c$ takie, że $a^2 + b^2 = c^2$, to istnieje trójkąt o bokach długości $a, b$ i $c,$ a kąt między bokami o długości $a$ i $b$ jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości $3$, $4$ i $5$ jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach $3$ i $4$.

Dowód

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt $\triangle ABC$ o bokach odpowiednio:

$|BC| = a , |AC| = b , |AB| = c$

spełniający warunek:

$a^2 + b^2 = c^2$ .

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt $\triangle KLM$ taki że:

$|KL| = a , |KM| = b$

oraz

$\sphericalangle LKM = 90^\circ$

Trójkąt $\triangle KLM$ jest prostokątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok $LM$ :

$|LM|^2 = a^2 + b^2$

z trójkąta $ABC$ mamy:

$|LM|^2 = a^2 + b^2 = c^2$

zatem:

$|LM| = c$

Okazało się, że:

$|BC| = a = |KL| , |AC| = b = |KM| , |AB| = c = |LM|$

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty $\triangle ABC$ i $\triangle KLM$ są przystające. Z faktu, iż trójkąt $\triangle KLM$ jest prostokątny wynika, że trójkąt $\triangle ABC$ jest prostokątny.

Uogólnienia

Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

Twierdzenie cosinusów

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów i znane było już w starożytności:

Jeśli w trójkącie o bokach długości $a, b$ i $c$ oznaczyć przez $\gamma$ miarę kąta leżącego naprzeciw boku $c$, to prawdziwa jest równość:

$a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma = c^2\,$.

Twierdzenie Dijkstry o trójkątach

Trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów zgrabnie sformułował Edsger Dijkstra:
Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości $a, b$ i $c$ znajdują się odpowiednio kąty $\alpha, \beta, \gamma$, to zachodzi równość:

$\operatorname{sgn}(\alpha + \beta - \gamma) = \operatorname{sgn}(a^2 + b^2 - c^2)$,

gdzie $\operatorname{sgn}$ oznacza funkcję signum.

Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową

Niech $V$ będzie przestrzenią euklidesową oraz $x,y\in V$. Jeśli $x\perp y$, to $\|x\|^2+\|y\|^2=\|x+y\|^2.$

Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.

Zobacz też

• trójki pitagorejskie
• twierdzenie Talesa

Bibliografia

• Szczepan Jeleński, Emilia Jeleńska: Rozrywki matematyczne 2, Śladami Pitagorasa. Wyd. 8. Warszawa: WSiP, 1988, s. 295. ISBN 83-02028-57-6. (pol.)

Linki zewnętrzne

• Kilka dowodów twierdzenia Pitagorasa (ang.)