Funkcje trygonometryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się używa.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.

Spis treści

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

Definicja z elementów trójkąta prostokątnego[edytuj | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym danej miary[1] (niżej zastosowano typowe oznaczenia, przedstawione na rysunku obok):

Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji
  • sinus – oznaczany w Polsce[2] \sin\; – stosunek długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta (na rysunku \alpha\;) i długości przeciwprostokątnej c\;;
  • cosinus (lub kosinus) – oznaczany \cos\; – stosunek długości przyprostokątnej przyległej b\; do tego kąta \alpha\; i przeciwprostokątnej c\;;
  • tangens – oznaczany w Polsce[2] \operatorname{tg}\; – stosunek długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta \alpha\; i długości przyprostokątnej b\; przyległej do tego kąta;
  • cotangens (kotangens) – oznaczany w Polsce[2] \operatorname{ctg}\; – stosunek długości przyprostokątnej b\; przyległej do tego kąta \alpha\; i długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta;
  • secans (sekans) – oznaczany w Polsce[2] \sec\; – stosunek długości przeciwprostokątnej c\; i długości przyprostokątnej b\; przyległej do kąta ostrego \alpha\;; odwrotność cosinusa;
  • cosecans (kosekans) – oznaczany w Polsce[2] \operatorname{cosec}\; lub \operatorname{csc}\; – stosunek długości przeciwprostokątnej c\; i długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw kąta ostrego \alpha\;; odwrotność sinusa.

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki[1]:

\tfrac{a}{\cdot} \tfrac{b}{\cdot} \tfrac{c}{\cdot}
\tfrac{\cdot}{a} 1\ \operatorname{ctg}\ \alpha \csc\ \alpha
\tfrac{\cdot}{b} \operatorname{tg}\ \alpha 1\ \sec\ \alpha
\tfrac{\cdot}{c} \operatorname{sin}\ \alpha \operatorname{cos}\ \alpha 1\

Dla miar kątów \alpha\; większych od 90° oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych \alpha\; powyższą definicję można uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków.

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak:

  • sinus versus[3]:
\operatorname{versin}\ \alpha=1-\cos \alpha
  • haversin (ang. half of the versine)[4]:
\operatorname{haversin}\ \alpha = \tfrac{1}{2}\ \operatorname{versin}\ \alpha
  • cosinus versus[5]:
\operatorname{covers}\ \alpha=1-\sin \alpha
\operatorname{exsec}\ \alpha=\sec \alpha-1

Obecnie nie są one używane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszczało obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi[7][8][9]

Definicja za pomocą kąta skierowanego[edytuj | edytuj kod]

Definicja na ramieniu kąta

Jeżeli kąt skierowany \alpha\; ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku prostokątnego układu współrzędnych O\;, pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu O\; oraz zawierającą pewien punkt M = (a, b)\; różny od O\;, to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego \alpha\; określa się wzorami[10]:

\sin \alpha =\tfrac{b}{r}
\cos \alpha =\tfrac{a}{r}
\operatorname{tg}\, \alpha =\tfrac{b}{a}
\operatorname{ctg}\, \alpha =\tfrac{a}{b}
\sec \alpha =\tfrac{r}{a}
\csc \alpha =\tfrac{r}{b}

gdzie r = |OM|\;.

Stosunki te nie zależą od położenia punktu M\; na ramieniu kąta \alpha\; (wynika to wprost z własności podobieństwa trójkątów).

Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw[edytuj | edytuj kod]

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego \theta\; wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków[11]:

\sin \theta =|AC|\
\cos \theta =|OC|\
\operatorname{tg}\ \theta =|AE|\
\operatorname{ctg}\ \theta =|AF|\
\sec \theta =|OE|\
\csc \theta =|OF|\

Dla miar kątów spoza przedziału [0,\pi]\; konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.

Jeśli chodzi o definicję samego sinusa i cosinusa, to nie ma takiego problemu w przypadku, gdy zamiast na długości odcinków patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas:

A=\left(\cos \theta,\sin \theta\right)

Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku DA\; można przyjąć pole wycinka OBDA\; – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do OBDA\;[12].

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

  • Sinus, czyli połowa długości cięciwy AB\;, był w pracach hinduskiego matematyka Aryabhaty w sanskrycie nazywany ardha-jiva ("połowa cięciwy"), co zostało skrócone do jiva, a następnie transliterowane do arabskiego jiba (جب). Europejscy tłumacze, Robert z Chester i Gerardo z Cremony w XII-wiecznym Toledo pomylili jiba z jaib (جب), oznaczającym "zatokę" prawdopodobnie dlatego, że jiba (جب) i jaib (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). Sinus znaczy po łacinie właśnie zatoka.
  • Tangens pochodzi od łacińskiego tangeredotykający, styczny, gdyż odcinek AE\; jest styczny do okręgu.
  • Secans pochodzi z łacińskiego secaredzielić, rozcinać, rozstrzygać i znaczy odcięcie. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka OE\;, odcinanego przez styczną (tangens).
  • Cosinus, cotangens i cosecans powstały przez złożenie łacińskiego co- (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego \angle AOF. Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek "ko-" był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (koti-jya, kojya); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje[13].

Definicja za pomocą szeregu Taylora[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: wzór Taylora.
Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Definicje za pomocą szeregów określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych, dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne[14]. Definicje te są też stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości[15][16][17]:


\begin{align}
\sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots =\\
&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\tfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots =\\
&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\tfrac{x^{2n}}{(2n)!}\\
\mbox{tg}\ x &= x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2 x^5}{15} + \cdots =\\
&=\sum^{\infin}_{n=1} \tfrac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},\quad |x|<\tfrac{\pi}{2}
\end{align}
gdzie B_n\; to liczby Bernoulliego

\begin{align}
\mbox{ctg}\ x&= \tfrac {1} {x} - \tfrac {x}{3} - \tfrac {x^3} {45} - \tfrac {2 x^5} {945} - \cdots =\\
&=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi\\
\sec x &= 1 + \tfrac {x^2} {2} + \tfrac {5 x^4} {24} + \tfrac {61 x^6} {720} + \cdots =\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \tfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\quad |x|< \tfrac{\pi}{2}
\end{align}
gdzie E_n\; to liczby Eulera

\begin{align}
\csc x &= \tfrac {1} {x} + \tfrac {x} {6} + \tfrac {7 x^3} {360} + \tfrac {31 x^5} {15120} + \cdots =\\
&= \sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi
\end{align}

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Definicja za pomocą równań funkcyjnych[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych (s,c)\; taka, że dla każdego x, y \in\mathbb{R}:

\begin{cases}
s(x)^2 + c(x)^2 = 1\\
s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y)\\
c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)\\
0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{dla}\ 0 < x < 1
\end{cases}

Tymi funkcjami są[18]:

s(x)=\sin x, \quad c(x)=\cos x

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować[19] również jako jedyne funkcje s(x)\; oraz c(x)\; spełniające poniższe trzy warunki:

\begin{cases}
s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\
c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\
\lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1
\end{cases}

Definicja za pomocą równań różniczkowych[edytuj | edytuj kod]

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

y^{\prime\prime}=-y

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki[20]:


 \begin{cases}
  y(0)=0\\
  y\,^\prime(0)=1
 \end{cases}

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego[20]


 \begin{cases}
  y(0)=1\\
  y\,^\prime(0)=0
 \end{cases}

Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych[edytuj | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą iloczynów nieskończonych[21]:

\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)

Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych[edytuj | edytuj kod]

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych[22][23][24]:

\sin x=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{(2\cdot 3-x^2)+\cfrac{2\cdot 3 x^2}{(4\cdot 5-x^2)+\cfrac{4\cdot 5 x^2}{(6\cdot 7-x^2)+\dots}}}}
\operatorname{tg}\ x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\dots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{5}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{7}{x}-\dots}}}}
\operatorname{ctg}\ x=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\cfrac{x^2}{9-\dots}}}}

Definicje za pomocą ogólniejszych funkcji[edytuj | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki funkcji Bessela, funkcji Mathieu albo funkcji eliptycznych Jacobiego[25].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej[edytuj | edytuj kod]

Przebieg zmienności funkcji[edytuj | edytuj kod]

W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego liczbą rzeczywistą. Mają one wówczas następujące własności:

Dziedzina i asymptoty
  • Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
  • Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać \tfrac{\pi}{2}+k\pi\;, gdzie k\; jest liczbą całkowitą.
  • Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci k\pi\;, gdzie k\; jest liczbą całkowitą.
  • Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;, a cotangens i cosecans w punktach postaci x=k\pi\;. Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.
Przeciwdziedzina
  • Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału [-1;1]\;. Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru[26] (-\infty,-1]\cup[1,\infty).
Ekstrema
  • Maksymalną wartość, w obu przypadkach 1\;, sinus przyjmuje w punktach x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\;, a cosinus w punktach x=2k\pi\;, gdzie k\; jest całkowita.
  • Minimalną wartość, dla obu funkcji -1\;, sinus przyjmuje w punktach x=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\;, a cosinus w punktach x=\pi+2k\pi\;, gdzie k\; jest całkowita.
Miejsca zerowe
  • Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci x=k\pi\;, gdzie k\; jest całkowita.
  • Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\;, gdzie k\; jest całkowita.
Parzystość i nieparzystość
  • Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:
    \begin{array}{l l} \sin (-x) = -\sin x & \cos (-x) = \cos x \\ \mbox{tg}(-x) = -\mbox{tg}\ x & \mbox{ctg} (-x) = -\mbox{ctg}\ x \\ \mbox{sec} (-x) = \mbox{sec}\ x & \mbox{csc} (-x) = -\mbox{csc}\ x\end{array}
Okresowość
  • Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba 2\pi\; a tangensa i cotangensa \pi\;[27][28]:
    \begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + 2k\pi) & \cos x = \cos(x + 2k\pi) \\ \mbox{tg}\ x = \mbox{tg} (x + k\pi) & \mbox{ctg}\ x = \mbox{ctg} (x + k\pi) \\ \mbox{sec}\ x = \mbox{sec} (x + 2k\pi) & \mbox{csc}\ x = \mbox{csc} (x + 2k\pi)\end{array}
gdzie k\; jest liczbą całkowitą.
Ciągłość i różniczkowalność
  • Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).
Odwracalność
Własności algebraiczne

Wykresy[edytuj | edytuj kod]

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą)[28].

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor \left[-\tfrac{\pi}{2},0\right]. Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.


Wartości dla typowych kątów[edytuj | edytuj kod]

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°[30]:

radiany 0\; \frac{\pi}{12} \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{5\pi}{12} \frac{\pi}{2}
stopnie 0^\circ\; 15^\circ\; 30^\circ\; 45^\circ\; 60^\circ\; 75^\circ\; 90^\circ\;
\sin\; 0\;  \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}  \tfrac{1}{2}  \tfrac{\sqrt{2}}{2}  \tfrac{\sqrt{3}}{2}  \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 1\;
\cos\; 1\;  \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}  \tfrac{\sqrt{3}}{2}  \tfrac{\sqrt{2}}{2}  \tfrac{1}{2}  \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 0\;
\operatorname{tg}\; 0\;  2-\sqrt{3}  \tfrac{\sqrt{3}}{3} 1\;  \sqrt{3}  2+\sqrt{3} nieokreślony
\operatorname{ctg}\; nieokreślony  2+\sqrt{3}  \sqrt{3} 1\;  \tfrac{\sqrt{3}}{3}  2-\sqrt{3} 0\;
\sec\; 1\;  \sqrt{6}-\sqrt{2}  \tfrac{2\sqrt{3}}{3}  \sqrt{2} 2\;  \sqrt{6}+\sqrt{2} nieokreślony
\csc\; nieokreślony  \sqrt{6}+\sqrt{2} 2\; \sqrt{2}  \tfrac{2\sqrt{3}}{3}  \sqrt{6}-\sqrt{2} 1\;

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci \tfrac{n\pi}{m}, n\in\mathbb{Z}, m\in\mathbb{N_+} dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastka kwadratowego wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka \tfrac{n}{m} liczba m\; jest iloczynem potęgi dwójki i różnych liczb pierwszych Fermata (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3,5,17,257,65537)[31][32]. W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1° gdyż 1^\circ=\tfrac{\pi}{180} a 180=2^2\cdot 3^2\cdot 5 ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na m\; jest identyczny jak warunek konstruowalności m\;-kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. twierdzenie Gaussa-Wantzela).

Wzory redukcyjne[edytuj | edytuj kod]

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału [0,\tfrac{\pi}{2})\; czyli [0^\circ,90^\circ)\;[33]:

I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka
\phi\; 90^\circ-\alpha\; 90^\circ+\alpha\; 180^\circ-\alpha\; 180^\circ+\alpha\; 270^\circ-\alpha\; 270^\circ+\alpha\; 360^\circ-\alpha\;
\tfrac{\pi}{2}-\alpha\; \tfrac{\pi}{2}+\alpha\; \pi-\alpha\; \pi+\alpha\; \tfrac{3}{2}\pi-\alpha\; \tfrac{3}{2}\pi+\alpha\; 2\pi-\alpha\;
\sin{\phi}\; \cos{\alpha}\; \cos{\alpha}\; \sin{\alpha}\; -\sin{\alpha}\; -\cos{\alpha}\; -\cos{\alpha}\; -\sin{\alpha}\;
\cos{\phi}\; \sin{\alpha}\; -\sin{\alpha}\; -\cos{\alpha}\; -\cos{\alpha}\; -\sin{\alpha}\; \sin{\alpha}\; \cos{\alpha}\;
\operatorname{tg}{\phi} \operatorname{ctg}{\alpha} -\operatorname{ctg}{\alpha} -\operatorname{tg}{\alpha} \operatorname{tg}{\alpha} \operatorname{ctg}{\alpha} -\operatorname{ctg}{\alpha} -\operatorname{tg}{\alpha}
\operatorname{ctg}{\phi} \operatorname{tg}{\alpha} -\operatorname{tg}{\alpha} -\operatorname{ctg}{\alpha} \operatorname{ctg}{\alpha} \operatorname{tg}{\alpha} -\operatorname{tg}{\alpha} -\operatorname{ctg}{\alpha}
\sec{\phi} \csc{\alpha} -\csc{\alpha} -\sec{\alpha} -\sec{\alpha} -\csc{\alpha} \csc{\alpha} \sec{\alpha}
\csc{\phi} \sec{\alpha} \sec{\alpha} \csc{\alpha} -\csc{\alpha} -\sec{\alpha} -\sec{\alpha} -\csc{\alpha}

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją kofunkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać 90^\circ \pm \alpha bądź 270^\circ \pm \alpha, w przypadkach 0^\circ \pm \alpha = 360^\circ \pm \alpha oraz 180^\circ \pm \alpha funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli[26]:

Ćwiartki układu współrzędnych
I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka
 \sin\ \alpha + +
 \cos\ \alpha + +
 \operatorname{tg}\ \alpha + +
 \operatorname{ctg}\ \alpha + +
 \sec\ \alpha + +
 \csc\ \alpha + +

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:

W pierwszej ćwiartce są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy lub W pierwszej wszystkie są dodatnie

Podstawowe tożsamości trygonometryczne[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Tożsamości trygonometryczne.

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,
  • definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i kotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa)[34]:
\begin{align}
\operatorname{tg}\ \alpha  & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\
\operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi
\end{align},\quad k\in\mathbb{Z}
Geometryczny dowód wzoru \sin (\alpha+\beta) =\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta
  • wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów[34]:
\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,
\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,
  • wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów[34]:
\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2
\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2
  • wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu[35]:
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,
\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha
  • wzory na sinus i cosinus połowy argumentu[36]:
\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}
\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}
  • iloczyn w postaci sumy[36]:
\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2
\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2
\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2
  • wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne[34][37]:
\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)
\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)
\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,
\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,
\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,
\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,
\begin{matrix}
    \color{red}{\sin^2 \alpha}= 
  & 1-\cos^2 \alpha=
  & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
  & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\

    1-\sin^2 \alpha=
  & \color{red}{\cos^2 \alpha}=
  & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
  & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\

    \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}=
  & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=
  & \color{red}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
  & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\

    \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=
  & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}=
  & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
  & \color{red}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}
\end{matrix}

(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)

Pochodne funkcji trygonometrycznych[edytuj | edytuj kod]

Zachodzą równości[38]:

\sin^\prime x = \cos x = \sin\left(\tfrac \pi 2 + x\right)
\cos^\prime x = - \sin x = \cos\left(\tfrac \pi 2 + x\right)
\operatorname{tg}^\prime x = \tfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x=1+\operatorname{tg}^2 x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}
\operatorname{ctg}^\prime x = -\tfrac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x=-(1+\operatorname{ctg}^2\, x)\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}
\sec^\prime x=\tfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{tg}\, x\sec x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}
\csc^\prime x=-\tfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\operatorname{ctg}\, x\csc x\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

\sin^{(n)} x = \sin\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \sin x & n = 4k \\ \cos x & n = 4k + 1 \\ -\sin x & n = 4k + 2 \\ -\cos x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\},
\cos^{(n)} x = \cos\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \cos x & n = 4k \\ -\sin x & n = 4k + 1 \\ -\cos x & n = 4k + 2 \\ \sin x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\}.

Wzory na n-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane[39][40][41][42].

Całki funkcji trygonometrycznych[edytuj | edytuj kod]

Podstawowe całki to[43]:

\int\sin x \,{\rm d}x=-\cos x+C,
\int\cos x \,{\rm d}x=\sin x+C,
\int\operatorname{tg}\, x \,{\rm d}x=-\ln|\cos x|+C,
\int\operatorname{ctg}\, x \,{\rm d}x=\ln|\sin x|+C,
\int\sec x \,{\rm d}x=\ln|\sec x+\operatorname{tg}\, x|+C,
\int\csc x \,{\rm d}x=-\ln|\csc x+\operatorname{ctg}\, x|+C,

gdzie C\in\mathbb{R}.

Każda całka funkcji wymiernej postaci R(\sin x, \cos x)\; jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie[44]:

t = \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}

Wówczas:

\operatorname{d}x=\tfrac{2\operatorname{d}t}{1+t^2}
\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2}
\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2}
\operatorname{tg} x=\tfrac{2t}{1-t^2}
\operatorname{ctg} x=\tfrac{1-t^2}{2t}
\sec x=\tfrac{1+t^2}{1-t^2}
\csc x=\tfrac{1+t^2}{2t}

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej[edytuj | edytuj kod]

Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:

  • okresowość (w tym okres podstawowy),
  • tożsamości trygonometryczne,
  • miejsca zerowe,
  • punkty nieokreśloności:
    • sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
    • tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci \tfrac{(2k-1)\pi}{2}\;, a cotangens – punktów postaci k\pi\;, gdzie k\; jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu urojonego jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od 1\;, w szczególności:

\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543;\qquad \sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie zespolonej.

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty[edytuj | edytuj kod]

Funkcja Część rzeczywista Część urojona Moduł
\sin(x\pm iy) \sin x \cosh y\; \pm \cos x\sinh y\; \sqrt{\sin^2 x+\sinh^2 y}
\cos(x\pm iy) \cos x \cosh y\; \mp \sin x\sinh y\; \sqrt{\cos^2 x+\sinh^2 y}
\operatorname{tg}(x\pm iy) \frac{\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y} \pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y} \sqrt{\frac{\sin^2 2x+\sinh^2 2y}{(\cos 2x+\cosh 2y)^2}}
\operatorname{ctg}(x\pm iy) -\frac{\sin 2x}{\cos 2x-\cosh 2y} \pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y} \sqrt{-\frac{\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}

Argument \varphi\; oblicza się według wzorów:

\sin\varphi=\tfrac{\operatorname{Im}\ \omega}{|\omega|}
\cos\varphi=\tfrac{\operatorname{Re}\ \omega}{|\omega|},

gdzie \omega\; to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

Wzór Eulera[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Wzór Eulera.

W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:

e^{iz}=\cos z+i\sin z\;

Wynika z niego, iż:

\sin z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
\cos z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}
\operatorname{tg} z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{ (e^{iz} + e^{-iz})i}
\operatorname{ctg} z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}}i
\sec z = \tfrac{2}{e^{iz} + e^{-iz}}
\csc z = \tfrac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}}

gdzie:

Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Wykresy[edytuj | edytuj kod]

Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem. Odcienie barw określają argument, a jasność – moduł wyniku

Związki z innymi funkcjami[edytuj | edytuj kod]

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Funkcje cyklometryczne.

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres[45].

Nazwa Zapis Odwrotna do Dziedzina Przeciwdziedzina
arcus sinus y=\operatorname{arcsin}\, x x=\sin y\; [-1; 1]\; [-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]
arcus cosinus y=\operatorname{arccos}\, x x=\cos y\; [-1; 1]\; [0, \pi]\;
arcus tangens y=\operatorname{arctg}\,x x=\operatorname{tg}\,y \mathbb{R} (-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})
arcus cotangens y=\operatorname{arcctg}\,x  x=\operatorname{ctg}\,y \mathbb{R} (0, \pi)\;
arcus secans y=\operatorname{arcsec}\,x x=\sec y\;  \mathbb{R}\setminus \ (-1; 1) [0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]
arcus cosecans y=\operatorname{arccsc}\,x x=\csc y\; \mathbb{R}\setminus\ (-1; 1) [-\tfrac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \tfrac{\pi}{2}]

Harmoniki[edytuj | edytuj kod]

Sinusoidalny ruch prostego oscylatora
Information icon.svg Osobny artykuł: Harmonika (matematyka).

Funkcje postaci

u(t) = A \sin(\omega t + \phi)\;,

gdzie:

są nazywane harmonikami[46]. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.

Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu, albo obwód rezonansowy sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii) do równania różniczkowego:

x^{\prime\prime}=-kx

którego rozwiązaniami są harmoniki.

Funkcje hiperboliczne[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Funkcje hiperboliczne.
Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób[19]:

\left\{ \begin{matrix}
W1\colon & s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\
W2\colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\
W3\colon & \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1
\end{matrix} \right.

Jeśli warunek W2 zmienić na:

\begin{matrix}
W2^\prime \colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)-s(x_1)s(x_2)
\end{matrix}

wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh)[47]. Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny i całkowy cosinus hiperboliczny.

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

Także definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

x^2+y^2=1\;

należy wziąć hiperbolę o równaniu

x^2-y^2=1\;

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny[12].

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji Wzór Eulera.

Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych[48]:


\begin{align}
\sinh x &= \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\
\cosh x &= \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}\\
\operatorname{tgh}\,x &= \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\\
\operatorname{ctgh}\,x &= \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}
\end{align}

Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych[48]:

\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\;
\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\;
\cosh 2x=\cosh^2 x+\sinh^2 x\;

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone[48].

Niektóre zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Ze względu na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki i techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań[49]. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre.

Geometria[edytuj | edytuj kod]

Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w geometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów trójkąta. Poniżej podano kilka innych zastosowań.

Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenia
Geometryczny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają równe pola powierzchni.

W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości:
Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie Snelliusa[50]:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

(R jest promieniem okręgu opisanego)

Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie Carnota[51]:

c^2=a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\;

Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie Regiomontana[51]:

{a-b \over a+b} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2}}{\operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2}}

W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną \operatorname{haversin}\ x = 1-\cos \tfrac{x}{2}, pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze[7].

Wzory na pole trójkąta[edytuj | edytuj kod]

Wzory na pole trójkąta często wykorzystują funkcje trygonometryczne[49]:

S=\frac{bc\sin \alpha}{2}

lub

S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\;

lub

S=\frac{a^2+b^2+c^2}{4(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma)}

gdzie:

  • a,b,c\; to boki trójkąta,
  • \alpha,\beta,\gamma\; to miary kątów o wierzchołkach leżących naprzeciw boków odpowiednio a,b\; i c\;,
  • R\; to promień koła opisanego.

Iloczyny wektorów[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobne artykuły: Iloczyn skalarnyIloczyn wektorowy.

W geometrii i algebrze liniowej definiowane są iloczyny wektorów, m.in. iloczyny skalarny i wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanych kierunkach, zwrotach i długościach. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kąta \theta\; między wektorami:

  • iloczyn skalarny[52],
    \vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \cos \theta,
  • iloczyn wektorowy[52],
    \vec a \times \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \sin \theta \, \vec n,
gdzie \vec n jest ustalonym wektorem jednostkowym prostopadłym tak do \vec a, jak i do \vec b.

Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe[edytuj | edytuj kod]

Najczęściej w geometrii stosowany jest układ współrzędnych kartezjańskich. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne układy, w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należy układ współrzędnych biegunowych, układ współrzędnych sferycznych (jego zastosowaniem są np. współrzędne geograficzne) i układ współrzędnych walcowych. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

Geometria sferyczna[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Geometria sferyczna.

Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami geometrii sferycznej i jej zastosowań w astronomii, nawigacji i geodezji, gdzie służą m.in. do rozwiązywania trójkątów sferycznych.

Information icon.svg Zobacz też: reguła Nepera.

Analiza matematyczna[edytuj | edytuj kod]

Szereg Fouriera[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Szereg Fouriera.
Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych

Funkcje \left\{ \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \tfrac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \tfrac{\cos nx}{\sqrt \pi} \right\} tworzą dla dowolnego n \in \mathbb{N}_{+} układ ortonormalny. Dzięki temu funkcje okresowe S(x)\; spełniające tzw. warunki Dirichleta mogą być wyrażone w postaci tzw. szeregu Fouriera:

 S(x) = \tfrac{1}{2}a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \tfrac {2n\pi}{T}x + b_n \sin \tfrac {2n\pi}{T}x \right)

Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są harmonicznymi. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, teorii drgań, a nawet teorii muzyki (zob. szereg harmoniczny (muzyka), alikwoty).

Funkcja Weierstrassa[edytuj | edytuj kod]

Funkcja Weierstrassa
Information icon.svg Osobny artykuł: Funkcja Weierstrassa.

Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jest funkcja, która jest ciągła, jednak nie jest w żadnym punkcie różniczkowalna[53]:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x),

gdzie a\; jest pewną liczbą z przedziału (0,1)\; natomiast b\; jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek ab>1+\tfrac{3}{2}\pi.

Funkcja Dirichleta[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Funkcja Dirichleta.

Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. funkcja Dirichleta, która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych[54]:

1_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)

Teoria liczb[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Funkcja Möbiusa.

Choć teoria liczb jest dziedziną daleką od analizy matematycznej, także tutaj pojawiają się funkcje trygonometryczne. Na przykład[55]:

\sum_\begin{smallmatrix} 1\leqslant x< n,\\ \operatorname{NWD}(x,n)=1 \end{smallmatrix}\!\!\!\!\!\!\!\!\cos \tfrac{2\pi x}{n}=\mu(n),

gdzie \mu(n)\; to tzw. funkcja Möbiusa.

Zastosowania poza matematyką[edytuj | edytuj kod]

Krzywe Lissajous powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie i w poziomie

Funkcje trygonometryczne mają wiele zastosowań w najróżniejszych dziedzinach nauki i techniki, takich jak na przykład:

Historia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz więcej w artykule Trygonometria, w sekcji Historia.

Polskie nazwy[edytuj | edytuj kod]

Poloniści dopuszczają zarówno formy "cosinus, cotangens, cosecans, secans", jak i "kosinus, kotangens, kosekans, sekans". Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego[57], jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane.

Już pod koniec XVIII wieku Jan Śniadecki próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych[58][59] (w nawiasie proponowany skrót):

  • sinus – wstawa (wst),
  • cosinus – dostawa (dost),
  • tangens – styczna (sty),
  • cotangens – dostyczna (dosty),
  • secans – sieczna (sie),
  • cosecans – dosieczna (dosie),

Propagował je potem m.in. Andrzej Radwański w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku[60]. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny.

W latach 1918-1924 polskie nazwy próbował forsować rektor Szkoły Politechnicznej we Lwowie, prof. Maksymilian Thullie (1853-1939). Stosował je w swoich pracach, np. w podręczniku Statyka budowli (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się[61].

Oznaczenia funkcji trygonometrycznych[edytuj | edytuj kod]

W różnych krajach stosowane są różne skróty funkcji trygonometrycznych:

sinus cosinus tangens cotangens
kraje anglojęzyczne sin[62][63] cos[62][63] tan[62][63] (czasem tg[64]) cot[62][63] (czasem ctg[64], ctn[65])
Chiny sin[66] cos[66] tan[66]/tg[67] cot[66]/ctg[67]
Finlandia sin[68] cos[68] tan[68] cot[68]
kraje francuskojęzyczne sin[69][70] cos[69][70] tan[71]/tang[69]/tg[70][72] cotan[71]/cotg[72]/cot[69]/ctg[70]
kraje hiszpańskojęzyczne sen[73][74] cos[73][74] tan[74]/tg[73][75]/tag[76] cot[73][74]/cotg[76]/ctg[75]
Holandia sin[77] cos[77] tan[77] cot[77]
Indonezja sin[78] cos[78] tan[78] cot[78]
Japonia sin[79] cos[79] tan[79] cot[79]
Korea sin[80] cos[80] tan[80] cot[80]
Litwa sin[81] cos[81] tg[81] ctg[81]
kraje niemieckojęzyczne sin[82] cos[82] tan[82]/tg[83] cot[82]/ctg[83]
kraje portugalskojęzyczne sen[84]/sin[85] cos[84][85] tan[85]/tg[84][86] cot[85]/ctg[86]
Rosja sin[87] cos[87] tg[87] ctg[87]
Turcja sin[88] cos[88] tan[88] cot[88]
Ukraina sin[89] cos[89] tg[89] ctg[89]
Węgry sin[90] cos[90] tg[90] ctg[90]
Włochy sen[91]/sin[92] cos[91][92] tan[92]/tg[91] cot[92]/ctg[91]

Secans i cosecans są generalnie rzadko używane, lecz wszędzie stosuje się skróty sec i cosec/csc. Jedynie we Francji często dodawany jest nad tymi skrótami akcent: séc/coséc[69][70].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Bronsztejn, Siemiendiajew (w bibliografii), s. 230
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 W innych krajach bywają stosowane inne skróty – zobacz sekcja Oznaczenia funkcji trygonometrycznych
  3. Mathworld – Versine. [dostęp 10 stycznia 2009].
  4. Mathworld – Haversine. [dostęp 10 stycznia 2009].
  5. Mathworld – Coversine. [dostęp 10 stycznia 2009].
  6. Mathworld – Exsecant. [dostęp 10 stycznia 2009].
  7. 7,0 7,1 D. Zwillinger: (red.) Spherical Geometry and Trigonometry. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995, s. 468-471, §6.4, seria: CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. , zob. też Haversine formula w angielskiej wikipedii
  8. Roger W. Sinnott. Virtues of the Haversine. „Sky and Telescope”. 68 (2), s. 159, 1984 (ang.). 
  9. Chris Veness: Calculate distance and bearing between two Latitude/Longitude points using Haversine formula in JavaScript (ang.). www.movable-type.co.uk. [dostęp 2013-10-13].
  10. Słownik encyklopedyczny – matematyka (w bibliografii), s. 90
  11. Reinhardt, Soeder (w bibliografii), ss. 182-183
  12. 12,0 12,1 Bronsztejn, Siemiendizjew, s. 253
  13. David Bressoud, Joy Laine: Parallel Developments in Philosophy and Mathematics in India (ang.). [dostęp 19 marca 2009]. s. 13.
  14. w przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0
  15. Bronsztejn, Siemiendiajew, ss. 417-418
  16. Reinhardt, Soeder, s. 294
  17. Mathworld - Secans - series representation. [dostęp 10 stycznia 2009].
  18. Paweł Głowacki: Analiza B. Wykład 3. Funkcje elementarne. [dostęp 19 marca 2008]. twierdzenie 20
  19. 19,0 19,1 Reinhardt, Soeder, s. 295
  20. 20,0 20,1 Wolfram Mathworld – The best-known properties and formulas for trigonometric functions. [dostęp 19 marca 2009].
  21. Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 299, seria: Monografie Matematyczne tom 10.
  22. Sine (ang.). [dostęp 2 stycznia 2009].
  23. Tangent (ang.). [dostęp 2 stycznia 2009].
  24. Cotangent: continued fraction representation (ang.). [dostęp 2 stycznia 2009].
  25. Wolfram Mathworld – Connections within the group of trigonometric functions and with other function groups. [dostęp 19 marca 2009].
  26. 26,0 26,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 231
  27. Bronsztejn, Siemiendiejew, s. 625
  28. 28,0 28,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, ss. 114-116
  29. Dave Rusin: algebraic numbers query (ang.). [dostęp 12 kwietnia 2008].
  30. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 233
  31. Wolfram Mathworld – Sine: Specific values. [dostęp 19 marca 2009].
  32. Wolfram Mathworld – Tangent: Specific values. [dostęp 19 marca 2009].
  33. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 232
  34. 34,0 34,1 34,2 34,3 34,4 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 234
  35. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 235
  36. 36,0 36,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 236
  37. Słownik encyklopedyczny – matematyka, ss. 93-94
  38. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 397
  39. Tangent differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
  40. Cotangent differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
  41. Secant differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
  42. Cosecant differentiation. [dostęp 24 stycznia 2009].
  43. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 426
  44. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 438
  45. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 117
  46. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 237
  47. Reinhardt, Soeder, s. 297
  48. 48,0 48,1 48,2 Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 164. ISBN 83-204-0920-9.
  49. 49,0 49,1 Wolfram Mathworld – Introduction to the trigonometric functions. [dostęp 19 marca 2009].
  50. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 239
  51. 51,0 51,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 240
  52. 52,0 52,1 Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 650
  53. Paul Du Bois-Reymond. Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen. „J. Reine Angew. Math”, s. 21–37, 1875. 
  54. Wolfram Mathworld – The Dirichlet function. [dostęp 19 marca 2009].
  55. Mathworld - MoebiusMu[n - Series representations]. [dostęp 10 stycznia 2009].
  56. Mathworld – Logistic equation solution. [dostęp 10 stycznia 2009].
  57. Hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN. [dostęp 12 kwietnia 2008].
  58. Jan Śniadecki: Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona. Wyd. 2. 1820.
  59. Maksymilian Tytus Huber: Pisma. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
  60. Mateusz Pasternak: Anegdoty matematyczne. [dostęp 12 kwietnia 2008].
  61. Roman Ciesielski, Katarzyna Tyńska: Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki. [dostęp 12 kwietnia 2008].
  62. 62,0 62,1 62,2 62,3 Max Fogiel: Handbook of mathematical, scientific, and engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms. Research and Education Association, 1994, s. 213. ISBN 0-87891-521-4, ISBN 978-0-87891-521-7. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
  63. 63,0 63,1 63,2 63,3 Anthony Nicolaides: Pure Mathematics. Wyd. 3. Pass Publications, 2007, s. 42. ISBN 1-872684-87-4, ISBN 978-1-872684-87-1. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
  64. 64,0 64,1 Journal of engineering for industry. American Society of Mechanical Engineers, 1969. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
  65. Felix Klein: Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis. Cosimo, Inc., 2007, s. 180. ISBN 1-60206-647-7, ISBN 978-1-60206-647-2. [dostęp 22 marca 2009]. (ang.)
  66. 66,0 66,1 66,2 66,3 Zhi-shu He Tian: 數學定理、公式暨習題詳解. 五南圖書出版股份有限公司, 2007, s. 133. ISBN 957-11-4564-5, ISBN 978-957-11-4564-8. [dostęp 22 marca 2009]. (chiń.)
  67. 67,0 67,1 Ke xue shi ji kan. Ke xue chu ban she. [dostęp 23 marca 2009]. (chiń.)
  68. 68,0 68,1 68,2 68,3 Weikko Aleksanteri Heiskanen, Seppo Härmälä: Maastomittaus ja kartoitus. W. Söderström, 1972. [dostęp 23 marca 2009]. (fiń.)
  69. 69,0 69,1 69,2 69,3 69,4 Jean Baptiste, Joseph Delambre: Histoire de l'astronomie du moyen âge. V. Courcier, 1819, s. 462. [dostęp 22 marca 2009]. (fr.)
  70. 70,0 70,1 70,2 70,3 70,4 Pascal Dupont: Exercices de mathématiques: Volume 1, Algèbre et géométrie. Wyd. 2. De Boeck Université, 2005, s. 98. ISBN 2-8041-4312-0, ISBN 978-2-8041-4312-1. [dostęp 22 marca 2009].
  71. 71,0 71,1 Gilles Desbiens: Trigonométrie du triangle rectangle (fr.). [dostęp 22 marca 2009].
  72. 72,0 72,1 André Caillemer, Catherine Le Cocq: Astronomie de position, géodésie. Wyd. 2. Editions TECHNIP, 1998, s. 187. ISBN 2-7108-0439-5, ISBN 978-2-7108-0439-0. [dostęp 22 marca 2009]. (fr.)
  73. 73,0 73,1 73,2 73,3 Arenas Solá: Matemáticas: fichas de la asignatura. Edicions Universitat Barcelona, s. 24. ISBN 84-475-3206-2, ISBN 978-84-475-3206-3. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
  74. 74,0 74,1 74,2 74,3 James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, Héctor Vidaurri, Alejandro Alfaro, María Bruna, Josefina Anzures, Francisco Sánchez Fragoso: Precálculo: Matemáticas para el cálculo. Wyd. 5. Cengage Learning Editores, 2007, s. 411. ISBN 970-686-638-8, ISBN 978-970-686-638-7. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
  75. 75,0 75,1 Lira Contreras, Ana Rosa: Geometria y Trigonometria. Ediciones Umbral, s. 117. ISBN 970-9758-34-9, ISBN 978-970-9758-34-4. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
  76. 76,0 76,1 Salvador Guillén Vázquez: Manual de matemáticas para acceso a la Universidad. Editorial Ramón Areces, 1991, s. 442. ISBN 84-8004-006-8, ISBN 978-84-8004-006-8. [dostęp 22 marca 2009]. (hiszp.)
  77. 77,0 77,1 77,2 77,3 Jean-Pierre Daems, Edward Jennekens, Valentijn Van Hooteghem: Argument 4-5 - Goniometrie - Driehoeksmeting. Uitgeverij De Boeck, 2004, s. 211. ISBN 90-455-0674-2, ISBN 978-90-455-0674-6. [dostęp 23 marca 2009].
  78. 78,0 78,1 78,2 78,3 Sulistiyono, Sri Kurnianingsih, Kuntarti: Matematika Sma Dan Ma untuk Kelas XI Semester 1. Jakarta: ESIS, s. 172. ISBN 979-734-502-5, ISBN 978-979-734-502-0. ISBN 979-734-502-5. (indonez.)
  79. 79,0 79,1 79,2 79,3 信州大学. 工学部: 信州大学工学部紀要. 信州大学工学部, 1981. [dostęp 22 marca 2009]. (jap.)
  80. 80,0 80,1 80,2 80,3 Yong-un Kim: Tongyang ŭi kwahak kwa sasang: Hanʼguk kwahak ŭi kanŭngsŏng ŭl chʻajasŏ. Ilchisa, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (kor.)
  81. 81,0 81,1 81,2 81,3 Litovskiĭ fizicheskiĭ sbornik. Gos. izd-vo polit. i nauch. lit-ry, 1984. [dostęp 23 marca 2009]. (lit.)
  82. 82,0 82,1 82,2 82,3 Johann Mutschmann, Fritz Stimmelmayr, Werner Knaus: Taschenbuch der Wasserversorgung. Vieweg+Teubner Verlag, 2007, s. 873. ISBN 3-8348-0012-0, ISBN 978-3-8348-0012-1. [dostęp 22 marca 2009]. (niem.)
  83. 83,0 83,1 Hans Geiger, Karl Scheel: Handbuch der Physik. Julius Springer, 1928. [dostęp 22 marca 2009]. (niem.)
  84. 84,0 84,1 84,2 Memórias da Academia das ciências de Lisboa, classe de ciências. Lisbona: 1967. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
  85. 85,0 85,1 85,2 85,3 Dubbel Manual Da Construcao de Maquinas. Hemus, s. 68. ISBN 85-289-0270-6, ISBN 978-85-289-0270-9. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
  86. 86,0 86,1 Antônio Gonçalves, Moreira Couto: Geometria descritiva e insolação. 1961. [dostęp 22 marca 2009]. (port.)
  87. 87,0 87,1 87,2 87,3 Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы (ЕГЭ): Учебное пособие. Издательский дом "Питер", s. 160. ISBN 5-469-00278-0, ISBN 978-5-469-00278-9. [dostęp 22 marca 2009]. (ros.)
  88. 88,0 88,1 88,2 88,3 Orta Doğu: Isi transferí. [dostęp 23 marca 2009]. (tur.)
  89. 89,0 89,1 89,2 89,3 Mykola Platonovych Bahan: Ukraïnsʹka radi͡a͡nsʹka entsyklopedii͡a͡. Akademii͡a nauk Ukr. Radi͡ansʹkoï Sot͡sialistichnoï Respubliky, 1959. [dostęp 22 marca 2009]. (ukr.)
  90. 90,0 90,1 90,2 90,3 A Magyar Tudományos Akadémia Matematikai és Fizikai Tudományok Ostályának kózleményei. 1974. [dostęp 22 marca 2009]. (węg.)
  91. 91,0 91,1 91,2 91,3 Pierangelo Andreini: Manuale dell'ingegnere meccanico. Wyd. 2. Hoepli Editore, 2002, s. 16. ISBN 88-203-3380-5, ISBN 978-88-203-3380-5. [dostęp 22 marca 2009]. (wł.)
  92. 92,0 92,1 92,2 92,3 James Stewart: Calcolo. Funzioni di una variabile. Apogeo Editore, 2001, s. 222. ISBN 88-7303-747-X, ISBN 978-88-7303-747-7. [dostęp 22 marca 2009]. (wł.)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976.
  • Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka: Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998. ISBN 83-85336-06-0.
  • Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.
  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. III. Warszawa: PWN, 1954.
  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka. ISBN 83-7469-189-1.