Kostka Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kostka Cantora (ciężaru \kappa\,, gdzie \kappa\, jest nieskończoną liczbą kardynalną) - przestrzeń produktowa \kappa\, kopii zbioru \{0,1\}\, z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru \kappa\, oznacza jest zwykle symbolem D^\kappa\, - dokładniej:

D^\kappa=\prod_{s\in S}D_s\,,

gdzie S\, jest dowolnym zbiorem mocy \kappa\, oraz dla każdego s\in S\, zbiór D_s\, jest dwuelementową przestrzenią dyskretną, np. D_s=\{0,1\}\,.

Dla \kappa=\aleph_0\, przestrzeń D^\kappa\, nazywamy zbiorem Cantora.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie diadyczne[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągłym obrazem kostki Cantora nazywana jest przestrzenią diadyczną.

  • Nikołaj Szanin udowodnił, że jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią diadyczną, to najmniejszą liczbą kardynalną \kappa\, dla której X jest obrazem kostki Cantora ciężaru \kappa\, jest ciężar przestrzeni X, tzn. \kappa=w(X)\,[1].
  • Każda przestrzeń diadyczna ciężaru \kappa\, zawiera podprzestrzeń diadyczną dowolnego mniejszego ciężaru.[2].

Przypisy

  1. B. Efimov, R. Engelking, Remarks on dyadic spaces. II. Colloq. Math. 13 (1965) ss. 181-197.
  2. H. LeRoy Peterson. On dyadic subspaces. Pacific J. Math. Volume 31, Number 3 (1969), ss. 773-775. [1]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]