Kostka Cantora

Kostka Cantora (ciężaru $\kappa\,$, gdzie $\kappa\,$ jest nieskończoną liczbą kardynalną) - przestrzeń produktowa $\kappa\,$ kopii zbioru $\{0,1\}\,$ z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru $\kappa\,$ oznacza jest zwykle symbolem $D^\kappa\,$ - dokładniej:

$D^\kappa=\prod_{s\in S}D_s\,$,

gdzie $S\,$ jest dowolnym zbiorem mocy $\kappa\,$ oraz dla każdego $s\in S\,$ zbiór $D_s\,$ jest dwuelementową przestrzenią dyskretną, np. $D_s=\{0,1\}\,$.

Dla $\kappa=\aleph_0\,$ przestrzeń $D^\kappa\,$ nazywamy zbiorem Cantora.

Własności

• Ciężar kostki $D^\kappa\,$ wynosi $\kappa\,$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa\,$.
• Kostka Cantora jest ciągowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ciężar jest przeliczalny.
• Kostka Cantora $D^\kappa\,$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zerowymiarowych o ciężarze $\kappa\geqslant\aleph_0\,$.
• Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa o ciężarze $\kappa\geqslant\aleph_0\,$ jest ciągłym obrazem domkniętej podprzestrzeni kostki Cantora $D^\kappa\,$.

Przestrzenie diadyczne

Przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągłym obrazem kostki Cantora nazywana jest przestrzenią diadyczną.

• Nikołaj Szanin udowodnił, że jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią diadyczną, to najmniejszą liczbą kardynalną $\kappa\,$ dla której X jest obrazem kostki Cantora ciężaru $\kappa\,$ jest ciężar przestrzeni X, tzn. $\kappa=w(X)\,$.
• Każda przestrzeń diadyczna ciężaru $\kappa\,$ zawiera podprzestrzeń diadyczną dowolnego mniejszego ciężaru..

Zobacz też

• Kostka Aleksandrowa,
• Kostka Tichonowa.