Przestrzeń ciągowo zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń ciągowo zwarta - przestrzeń topologiczna w której, każdy ciąg punktów tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny. Podzbiór przestrzeń topologicznej jest ciągowo zwarty, jeśli zbiór ten z topologią indukowaną jest przestrzenią ciągowo zwartą.

W przypadku przestrzeni metryzowalnych pojęcie ciągowej zwartości równoważne jest zwartości.

Przykłady i kontrprzykłady[edytuj | edytuj kod]

Dowód. Niech (αn) będzie ciągiem przeliczalnych liczb porządkowych. Jeżeli zbiór wartości tego ciągu jest skończony, to (αn) zawiera podciąg stały, a więc zbieżny. Gdy zbiór wartości ciągu (αn) jest nieskończony, to indukcyjnie można wybrać ściśle rosnący (w sensie porządku w ω1) podciąg (αnk) ciągu (αn). Jednak dla ściśle rosnących ciągów liczb porządkowych zachodzi lim αnk = sup αnk. Ponadto, sup αnk = ∪k αnkω1 (por. arytmetyka liczb porządkowych), gdyż suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna. □
  • Przestrzeń zwarta nie musi być ciągowo zwarta. Niech I = [0,1]. Wówczas z twierdzenia Tichonowa wynika, że kostka Cantora {0,1}I jest zwarta. Nie jest ona jednak ciągowo zwarta.
Dowód. Niech [x] oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej x. Dla każdej liczby t w przedziale [0,1] niech dany będzie ciąg (tn) określony wzorem tn = 10nt - [10nt]. Funkcje fn: I → {0,1} dane wzorami fn(t) = 0, gdy t < tn i fn(t) = 1, gdy ttn są elementami przestrzeni produktowej {0,1}I, której topologia jest de facto topologią zbieżności punktowej. Ciąg (fn) nie ma podciągu zbieżnego (tj. kostka Cantora {0,1}I nie jest ciągowo zwarta). Rzeczywiście, niech n(1) < n(2) < ... będzie dowolnym ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Ponieważ funkcje fn przyjmują tylko dwie wartości, więc istnieje taka liczba t w przedziale [0,1], że ciąg wartości (fn(1)(t), fn(2)(t), fn(3)(t), ...) zawiera nieskończenie wiele zarówno zer jak i jedynek, co pokazuje, że granica podciągu (fn(1), fn(2), fn(3), ...) w punkcie t nie istnieje. □
\langle f_n, (\xi_k)_{k=1}^\infty \rangle = \xi_n\;\;\;\big(n\in\mathbb{N},\; (\xi_k)_{k=1}^\infty \in \ell_\infty \big)
nie ma podciągu zbieżnego. Wynika stąd, że B* nie jest ciągowo *-słabo zwarta.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975, s. 261.