Kresy dolny i górny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kres (kraniec) dolny (również łac. infimum) oraz kres (kraniec) górny (także łac. supremum) – w matematyce pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją.

Zbiory liczbowe[edytuj | edytuj kod]

Najczęściej oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że zbiór A\subseteq \mathbb R jest niepusty.

Powiemy, że s jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru A, jeżeli s \geqslant a\; (s \leqslant a) dla wszystkich elementów a \in A.

Kresem górnym zbioru A nazwiemy taką liczbę s \in \mathbb R, która jest najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru, tj. taką, że:

  • s jest ograniczeniem górnym zbioru A;
  • jeśli s' \in \mathbb R jest ograniczeniem górnym zbioru A, to s \leqslant s'\;.

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru A oznaczamy \sup(A), kres dolny \inf(A). Zapisy \inf(A) = -\infty oraz \sup(A) = \infty oznaczają, iż A jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy niepusty podzbiór \mathbb R ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tą własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
  • Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa/najmniejsza, to jest ona jego kresem górnym/dolnym.
  • Przypuśćmy że A\subseteq \mathbb R jest niepustym zbiorem oraz s \in \mathbb R, wówczas
    s = \sup(A) wtedy i tylko wtedy, gdy \forall_{a \in A}\; a \leqslant s oraz \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon;
    s = \inf(A) wtedy i tylko wtedy, gdy \forall_{a \in A}\; a \geqslant s oraz \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a < s + \varepsilon.
  • Jeżeli A \subseteq \mathbb R oraz oznaczymy -A := \{x \in \mathbb R\colon -x \in A\}, to:
    \inf(-A) = -\sup(A),
    \sup(-A) = -\inf(A).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli A=[0, 3], to:
    • \inf(A)=0 ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem dolnym.
    • \sup(A)=3 ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A, więc jest jego kresem górnym.
  • Niech B=(0, 3). Wówczas:
    • \inf(B)=0. Choć zbiór B nie ma liczby najmniejszej, jego kresem dolnym jest 0, bowiem żadna liczba większa od 0 nie jest mniejsza od dowolnej z liczb zbioru B.
    • \sup(B)=3. Mimo że w zbiorze B nie ma liczby największej, kresem górnym jest 3, ponieważ nie istnieje liczba mniejsza od 3, która byłaby większa od jakiejkolwiek liczby ze zbioru B.
  • Niech C=\{0, 1, 4\}. Wówczas podobnie jak dla zbioru A, \inf(C)=0 oraz \sup(C)=4:
  • Połóżmy D=\{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, \ldots\}. Jest \sup(D)=1, bo każda liczba zbioru D jest mniejsza od 1, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 nie jest większa od wszystkich liczb ze zbioru D.

Porządki częściowe[edytuj | edytuj kod]

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane tylko przy użyciu porządku i mogą być wprowadzone jako dużo ogólniejsze niż w sekcji powyżej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\sqsubseteq) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że A\subseteq X i s\in X.

Element s\, nazywamy elementem największym w zbiorze A\, wtedy i tylko wtedy, gdy:

s \in A \and \forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s.

Element s\, nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze A\, wtedy i tylko wtedy, gdy:

s \in A \and \forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a.

Element s\, nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A\, wtedy i tylko wtedy, gdy:

\forall_{a \in A} \; a \sqsubseteq s.

Element s\, nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A\, wtedy i tylko wtedy, gdy:

\forall_{a \in A} \; s \sqsubseteq a.

Element s\, jest kresem górnym (supremum) zbioru A\, wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych A\,.

Element s\, jest kresem dolnym (infimum) zbioru A\,, wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych A\,.

Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru X, a kres górny zbioru pustego - najmniejszym elementem zbioru X.

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór X ma kres górny, to porządek (X,\sqsubseteq) nazywa się zupełnym.

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych {\mathbb Q} z porządkiem naturalnym i zbiór A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}, to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. (Oczywiście ten sam zbiór ma kres dolny i kres górny w liczbach rzeczywistych.)
  • Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też kres dolny i kres górny można oznaczać symbolami odpowiednio \inf(A) i \sup(A).
  • Jeśli (X,\sqsubseteq) jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy (Y,\leqslant) taki że X\subseteq Y i obcięcie \leqslant \upharpoonright X zgadza się z \sqsubseteq, oraz X jest gęstym podzbiorem Y. Porządek (Y,\leqslant) jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
  • Jeśli (X,\sqsubseteq) jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn każdy ograniczony niepusty podzbiór X ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór X ma kres dolny.
  • Niech ({\mathbb B},+,\cdot,\sim,0,1) będzie algebrą Boole'a i niech \leqslant będzie porządkiem boole'owskim na {\mathbb B} (tzn. dla a\leqslant b wtedy i tylko wtedy gdy a\cdot b=a).
    • Kres górny niepustego zbioru A\subseteq {\mathbb B} (jeśli istnieje) jest oznaczany przez \sum A i bywa nazywany sumą zbioru A. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn takie dla których porządek boole'owski \leqslant jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole'a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
    • Kres dolny niepustego zbioru A\subseteq {\mathbb B} (jeśli istnieje) jest oznaczany przez \prod A i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru A. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole'a {\mathbb B}:
      każdy niepusty podzbiór {\mathbb B} ma kres górny (tzn sumę),
      każdy niepusty podzbiór {\mathbb B} ma kres dolny (tzn produkt).
    • Warto też zauważyć że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli \varnothing \neq A \subseteq \mathbb B, to
      \sum A=\sim\prod\{\sim a\colon a\in A\} oraz \prod A=\sim\sum\{\sim a\colon a\in A\}.