Porządek liniowy

Ilustracja porządku liniowego

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Definicje

Porządek liniowy to porządek częściowy $\preccurlyeq$ na danym zbiorze $X$ spełniający warunek spójności

$\forall_{a, b \in X}\; a \preccurlyeq b \or b \preccurlyeq a$.

Parę uporządkowaną $(X, \preccurlyeq)$ nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol $\prec$ będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem

$x \prec y \iff x \preccurlyeq y \and x \neq y$.

Podzbiór $A$ zbioru $X$ nazywa się

• gęstym, jeśli zachodzi

  $\forall_{x,y\in X, x \prec y}\; \exists_{z\in A}\; x \prec z \prec y;$

• ograniczonym z góry, jeśli

  $\exists_{x\in X}\; \forall_{a\in A} a \preccurlyeq x$.

Mówi się, że $(X, \preccurlyeq)$ jest

• porządkiem bez końców, jeśli w $X$ nie ma tak elementu najmniejszego jak i nawiększego, tzn. jeśli zachodzi

  $\forall_{x\in X}\; \exists_{y\in X}\; x \prec y$ oraz $\forall_{x\in X}\; \exists_{y\in X}\; y \prec x;$

• porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
• porządkiem gęstym, jeśli $X$ jest gęstym podzbiorem $X$.

Przykłady

• Relacje większe lub równe na zbiorze liczb całkowitych, wymiernych czy rzeczywistych są porządkami liniowymi.
• Szczególnym przypadkiem porządku liniowego jest dobry porządek.
• Porządek leksykograficzny $\leqslant_{\rm lex}$ na płaszczyźnie $\mathbb R^2$ jest porządkiem liniowym:

$(x_1,y_1)\leqslant_{\rm lex} (x_2,y_2) \iff x_1<x_2 \or (x_1=x_2 \and y_1\leqslant y_2)$.

Własności

• Jeśli $\sqsubseteq$ jest porządkiem liniowym na zbiorze $X$ oraz $Y\subseteq X,$ to zawężenie $\sqsubseteq_Y$ porządku $\sqsubseteq$ do zbioru $Y$ jest porządkiem liniowym na $Y.$
• Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenie: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem).
• Przypuśćmy że $(X,\sqsubseteq)$ jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje relatywnie zupełny porządek liniowy bez końców $(Y,\leqslant)$ taki że

  $X\subseteq Y$ i zawężenie $\leqslant_X$ zgadza się z $\sqsubseteq$ oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y$.

Porządek $(Y,\leqslant)$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Działania

Iloczyn leksykograficzny

Niech $(S, \preceq)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Niech $(X_s, \leqslant_s)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego $s \in S$ oraz niech $X := \prod_{s\in S} X_s$ będzie iloczynem kartezjańskim. Iloczynem leksykograficznym porządków $\leqslant_s$ nazywa się porządek liniowy w $X$ zdefiniowany wzorem

$x < y \Leftrightarrow x_\delta < y_\delta,$

gdzie $\delta := \delta(x,y)\in S$ będzie pierwszym elementem w $S,$ dla którego $x_\delta \ne y_\delta$ dla dowolnych $x,y\in X.$

Okazuje się, że iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zachowuje dobry porządek: iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zbiorów uporządkowanych liniowo i dobrze jest zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Natomiast iloczyn leksykograficzny nieskończonej rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych, z których każdy jest co najmniej dwuelementowy, nigdy nie jest uporządkowany dobrze.

Ultraprodukt

Niech $S$ będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Niech $F$ będzie dowolnym maksymalnym filtrem (czyli ultrafiltrem) w $S$ o pustym przecięciu. Niech ponadto $(X_s, \leqslant_s)$ będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego $s \in S$ oraz niech $X_F$ będzie ultraproduktem rodziny zbiorów $(X_s)_{s \in S}$ względem ultrafiltru $F$. W ultraprodukcie $X$ definiujemy porządek liniowy jak następuje:

$x_F \leqslant y_F \Leftrightarrow \{s\in S\colon x_s \leqslant y_s\} \in F$

dla dowolnych $x,y \in \prod_{s\in S}\; X_s$, gdzie $x_F$ oznacza klasę elementu $x := (x_s)_{s\in S}$.

Zastosowania

W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako „dodatek” do innych struktur albo jako „narzędzie” do konstruowania przykładów rozważanych struktur.

Przedziałowe algebry Boole'a

Niech $(X, \sqsubseteq)$ będzie porządkiem liniowym, w którym istnieje element najmniejszy. Niech dla $x,y\in X\cup\{\infty\}$ symbol $[x,y[$ oznacza zbiór $\{z\in X\colon x\sqsubseteq z\sqsubset y\},$, tzn. przedział lewostronnie domknięty w $X.$

Niech $\mathcal F$ będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów $X,$ które mogą być przedstawione w postaci $[x_0,y_0[ \cup \dots \cup [x_k,y_k[$ dla pewnych elementów $x_0,y_0,\dots,x_k,y_k\in X\cup\{\infty\}$ spełniających nierówności $x_0\sqsubset y_0\sqsubset x_1\sqsubset y_1\sqsubset \dots\sqsubset x_k\sqsubset y_k$, gdzie $k \in \mathbb N$. Wówczas $\mathcal F$ jest ciałem podzbiorów $X$. Algebra Boole'a $(\mathcal F,\cup,\cap,{}^\prime,\varnothing,X)$ jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez $(X,\sqsubseteq)$.

Topologia porządkowa

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie jest porządkiem liniowym. Niech dla $x,y\in X\cup\{-\infty,\infty\}$ symbol $]x,y[$ oznacza przedział otwarty w $X$, tzn. zbiór postaci $\{z\in X:x\sqsubset z\sqsubset y\}.$ Wówczas rodzina

$\mathcal B = \left\{]x,y[\colon x\sqsubset y\right\} \cup \left\{]-\infty,x[\colon x\in X\right\} \cup \left\{]x,\infty[\colon x\in X \right\} \cup \{X\}$

pokrywa $X$ i jest zamknięta ze względu na branie przekrojów skończonych. Dlatego też $\mathcal B$ jest bazą pewnej topologii $\tau$ na $X$. Topologię tę nazywa się topologią porządkową lub topologią przedziałową. Topologia porządkowa zawsze spełnia aksjomat Hausdorffa (T₂) i jest nawet przestrzenią T₅.

Struktury algebraiczne

W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne dodatkowo wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi.

• Grupa liniowo uporządkowana to trójka $(G,\circ,\leqslant)$ taka, że $(G,\circ)$ jest grupą, a $\leqslant$ jest porządkiem liniowym na $G$, przy czym

  dla dowolnych $a,b,c\in G$ jeśli $a\leqslant b,$ to zarówno $a\circ c \leqslant b\circ c$ jak i $c\circ a\leqslant c\circ b$.

• Ciało uporządkowane to szóstka uporządkowana $(F,+,\cdot,0,1,\leqslant),$ gdzie $(F,+,\cdot,0,1)$ jest ciałem, a $\leqslant$ jest porządkiem liniowym na $F$, w którym dla dowolnych $a,b,c\in F$ spełnione są warunki:

jeśli $a\leqslant b,$ to $a+c \leqslant b+c$

oraz

jeśli $a\leqslant b$ i $0\leqslant c,$ to $a\cdot c \leqslant b\cdot c.$

Zobacz też

• łańcuch
• praporządek
• częściowy porządek
• dobry porządek