Kurtoza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos - wydęty) - jedna z miar spłaszczenia rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem:

\mbox{Kurt} = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3

gdzie \mu_4 jest czwartym momentem centralnym, zaś σ to odchylenie standardowe.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

W niektórych pracach, szczególnie starszych, można spotkać się ze wzorem na kurtozę, w którym nie odejmuje się od ułamka liczby 3. Nowa definicja kurtozy jest jednak bardziej wygodna, gdyż:

  • kurtoza rozkładu normalnego wynosi 0
  • jeśli Y jest sumą n niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej X, zachodzi własność: Kurt[Y] = Kurt[X] / n.

Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

  • mezokurtyczne - wartość kurtozy wynosi 0, spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu normalnego (dla którego kurtoza wynosi dokładnie 0)
  • leptokurtyczne - kurtoza jest dodatnia, wartości cechy bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym
  • platokurtyczne - kurtoza jest ujemna, wartości cechy mniej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym

Kurtoza z próby wyraża się wzorem:

\mbox{Kurt} = \frac{\frac{1}{n}
{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^4}}
{\sigma^4} - 3

gdzie x_i to i-ta wartość cechy, \mu to wartość oczekiwana w populacji, \sigma to odchylenie standardowe w populacji, zaś n to liczebność próby.

Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:


\mbox{Kurt} = \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}
\sum_{i=1}^N \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^4
- \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}

gdzie \bar{x} to średnia z próby, s to odchylenie standardowe z próby, x_i to kolejne wartości cechy, zaś n to liczebność próby.

Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnego[edytuj | edytuj kod]

Niech:

X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}

K = \frac{(\mu_4(X))}{(\sigma^2)^2}-3 – kurtoza

 \mu_n(X) = E((X-EX)^n) \, – moment centralny n–tego rzędu

 m_n(X) = E((X)^n) \, – moment zwykły n–tego rzędu

 P_x(A) = \int_Af(x)dx ~ , ~ ~ ~ ~ f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt(2 \pi)}e^{\frac{-(x-m)^2}{2 \sigma^2}} \textrm{ , } ~ ~ ~ ~ x \in \mathbb{R} \,

Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:

m = EX = m_1(X) \,

\sigma^2 = D^2X = E((X-EX)^2) = \mu_2(X) \,

mamy:

a.)

m_n(X) = \int_\Omega X^n(w)P(dw) = \int_\mathbb{R} x^nf(x)dx

b.)

\mu_4(X) = E((X-EX)^4) = E(X^4-4(EX)X^3 + 6(EX)^2X^2 - 4(EX)^3X + \,

+ (EX)^4) = E(X^4) - 4mE(X^3) + 6E(X^2)(EX)^2 - 4(EX)^3m + m^4 = \,

= E(X^4) - 4mE(X^3) + 6m^2E(X^2) - 3m^4 \,

Obliczamy momenty zwykłe:

 E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^2 \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-(x-m)^2}{2 \sigma^2}}dx = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}(z\sqrt{2}\sigma + m)^2 e^{-z^2} \sqrt{2} \sigma dz =^* \,

 z=\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}, x=z \sqrt{2} \sigma + m \,
 dz=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}, dx=\sqrt{2} \sigma dz \,

 =^* \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}(2z^2 \sigma^{2} + 2 \sqrt{2}z\sigma m + m^2)e^{-z^2}dz =

 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Bigg( 
2 \sigma^2 
   \left( \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 e^{-z^2} dz \right) + 
2\sqrt{2}\sigma m
\left( \int_{-\infty}^{+\infty} z e^{-z^2} dz \right)_{{=0}} + 
m^2 
\left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-z^2} dz \right)_{{=\sqrt{\pi}}}
\Bigg) = \,

= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( 2\sigma^{2} \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 e^{-z^2} dz + m^2\sqrt{\pi}\right) =^{*}  \,

 \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 e^{-z^2} dz = \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot z e^{-z^2} dz = -\frac{1}{2}z e^{-z^2}\Bigg|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-z^2}dz = \,

 -\frac{1}{2}ze^{-z^2}\Bigg|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-z^2}dz = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,

 =^{*} \frac{1}{\sqrt{\pi}}(2\sigma^2 \frac{\sqrt{\pi}}{2} + m^2\sqrt{\pi}) = \sigma^2 + m^2 \,

 E(X^3) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^3 \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-(x-m)^2}{2 \sigma^2}}dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}(z\sqrt{2}\sigma + m)^3 e^{-z^2}dz =^* \,


 z=\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}, x=z \sqrt{2} \sigma + m

 dz=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}, dx=\sqrt{2} \sigma dz

=^* \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}
(z^3\sqrt{2^3}\sigma^3 + 3z^22\sigma^2 m + 3z\sqrt{2}\sigma m^2 + m^3)
e^{-z^2}dz =  \,

= \frac{2\sqrt{2}\sigma^3}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} z^3 e^{-z^2} dz \bigg)_{=0} + 
\frac{6\sigma^2 m}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 e^{-z^2}dz \bigg)_{=\frac{\sqrt{\pi}}{2}} + \,

 + \frac{3 \sqrt{2} \sigma m^2}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} z e^{-z^2} dz \bigg)_{=0} +
\frac{m^3}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-z^2} dz \bigg)_{=\sqrt{\pi}} = 
\frac{6 \sigma^2 m}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} + m^3 = 3\sigma^2 m + m^3\,

 E(X^4) = \int_{-\infty}^{+\infty}x^4 \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-(x-m)^2}{2 \sigma^2}}dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}(z\sqrt{2}\sigma + m)^4 e^{-z^2}dz =^* 
\,

 z=\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}, x=z \sqrt{2} \sigma + m \,

 dz=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}, dx=\sqrt{2} \sigma dz \,

=^* \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}
(4\sigma^4z^4 + 32\sqrt{2}\sigma^3 m z^3 + 12\sigma^2 m^2 z^2 + 4\sqrt{2}\sigma m^3 z + m^4)
e^{-z^2}dz =  \,

= \frac{4\sigma^4}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} z^4 e^{-z^2} dz \bigg) + 
\frac{32\sqrt{2}\sigma^3 m}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} z^3 e^{-z^2}dz \bigg)_{=0} + \,

+ \frac{12 \sigma^2 m^2}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} z^2 e^{-z^2} dz \bigg)_{=\frac{\sqrt{\pi}}{2}} +
\frac{4 \sqrt{2} \sigma m^3}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} z e^{-z^2} dz \bigg)_{=0} +   
\frac{m^4}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-z^2} dz \bigg)_{=\sqrt{\pi}} = \,

= \frac{4\sigma^4}{\sqrt{\pi}}
   \bigg( \int_{-\infty}^{+\infty} z^4 e^{-z^2} dz \bigg) + 0 +
\frac{12 \sigma^2 m^2}{\sqrt{\pi}} 
    (\sigma^2+m^2) + 0 +
\frac{m^4}{\sqrt{\pi}}
    \sqrt{\pi} =^{**}\,

\int_{-\infty}^{+\infty} z^4 e^{-z^2} dz = \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot z^3 e^{-z^2} dz =^* \,

 u = z, ~~~~~~~~~~~~~u' = 1 \,
 v' = z^3e^{-z^2}, ~~~~~~v = ? \,

 v = \int z^3 e^{-z^2}dz = \frac{1}{2}\int te^{-t}dt = \frac{1}{2}(-te^{-t}) + \int e^{-t} dt=\frac{1}{2}(-z^2e^{-z^2}-e^{-z^2}) \,

 t=z^2 ~~~~~~~~~~~~~ u=t,~~ u'=1  \,

 dz=\frac{1}{2z}dt ~~~~~~~~ v'=e^{-t},~~ v=-e^{-t} \,

=^* z \cdot \frac{1}{2}(-z^2e^{-z^2}-e^{-z^2})\Big|_{-\infty}^{+\infty} - 
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2}(-z^2e^{-z^2}-e^{-z^2})dz = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} z^2e^{-z^2} dz + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-z^2} dz = \,

= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \,

=^{**} \frac{4\sigma^4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{3\sqrt{\pi}}{4} + 
\frac{12 \sigma^2 m^2}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} +
\frac{m^4}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} = 3\sigma^4 + 6\sigma^2 m^2 + m^4 ~~~~ (=E(X^4)) \,

Obliczone wartości:

 E(X^2) = \sigma^2 + m^2 \,

 E(X^3) = 3\sigma^2 m + m^3 \,

 E(X^4) = 3\sigma^4 + 6\sigma^2 m^2 + m^4 \,

podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b.) :

\mu_4(X) = E(X^4) - 4mE(X^3) + 6m^2E(X^2) - 3m^4 =  \,

 = (3\sigma^4 + 6\sigma^2 m^2 + m^4) - 4m(3\sigma^2 m + m^3) + 6m^2(\sigma^2 + m^2) - 3m^4 = \,

 = 3\sigma^4 + 6\sigma^2m^2 + m^4 - 12\sigma^2m^2 - 4m^4 + 6\sigma^2m^2 + 6m^4 - 3m^4 = 3\sigma^4 \,

Stąd kurtoza jest równa:

K = \frac{(\mu_4(X))}{(\sigma^2)^2}-3 = \frac{3\sigma^4}{\sigma^4}-3 = 3-3 = 0 \,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]