Macierz Cabibbo-Kobayashiego-Maskawy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Macierz CKM)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz Cabibbo-Kobayashiego-Maskawy (także niepopr. macierz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa, skr. macierz CKM) – w Modelu Standardowym fizyki cząstek elementarnych macierz łącząca stany własne kwarków ze względu na oddziaływanie słabe ze stanami własnymi masy. Dla trzech generacji kwarków

\left(\begin{array}{c}d'\\s'\\b'\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}V_{ud} & V_{us} & V_{ub}\\
 V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\
 V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}d\\s\\b\end{array}\right)

Po prawej stronie występują czyste stany kwarków o ładunku elektrycznym -1/3: dolnego, dziwnego i spodniego (pięknego), zaś po lewej stany własne ze względu na oddziaływania słabe. Zespolone współczynniki Vij tworzą macierz CKM. Fizycznie \left|V_{ij}^2\right| jest prawdopodobieństwem przejścia kwarku i w j w wyniku oddziaływania słabego.

W ogólności zespolona macierz typu 3×3 ma 18 wolnych parametrów rzeczywistych. Macierz CKM musi być jednak unitarna, co narzuca ograniczenia na wartości współczynników i wprowadza zależności między nimi. Ponadto globalne fazy fizycznych pól są nieobserwowalne, co pozwala na dalszą eliminację parametrów. Ostatecznie, w najbardziej ogólnej postaci, macierz CKM ma cztery wolne parametry: trzy "kąty mieszania" i jedną fazę, odpowiedzialną za łamanie parzystości CP.

Macierz w powyższej postaci dla trzech generacji wraz z jej parametryzacją została pierwszy raz podana przez Makoto Kobayashiego i Toshihide Maskawę w pracy opublikowanej w roku 1973[1]. Stanowiła ona uogólnienie wprowadzonej przez Nicolę Cabibbo macierzy mieszania dla dwóch generacji zawierającej tylko jeden wolny parametr zwany kątem Cabibbo.

Model Standardowy nie oferuje żadnych teoretycznych przewidywań względem współczynników macierzy CKM - są to parametry wolne modelu i muszą być wyznaczone doświadczalnie[2]. Obecnie najlepszym oszacowaniem ich amplitud jest:[3]


\begin{bmatrix}
|V_{ud}| & |V_{us}| & |V_{ub}| \\
|V_{cd}| & |V_{cs}| & |V_{cb}| \\
|V_{td}| & |V_{ts}| & |V_{tb}|
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0.97428 \pm 0.00015 & 0.2253 \pm 0.0007 & 0.00347^{+0.00016}_{-0.00012} \\
0.2252 \pm 0.0007 & 0.97345^{+0.00015}_{-0.00016} & 0.0410^{+0.0011}_{-0.0007} \\
0.00862^{+0.00026}_{-0.00020} & 0.0403^{+0.0011}_{-0.0007} & 0.999152^{+0.000030}_{-0.000045}
\end{bmatrix}.


Parametryzacje macierzy CKM[edytuj | edytuj kod]

Parametryzacją macierzy CKM nazywamy wyrażenie wszystkich jej elementów przez cztery parametry rzeczywiste. Istnieje nieskończenie wiele możliwych parametryzacji, poniżej przedstawione są najczęściej używane.

Parametryzacja Kobayashiego-Maskawy[edytuj | edytuj kod]

Kąt Cabibbo

Historycznie pierwszą parametryzację macierzy CKM podali Kobayashi i Maskawa w swej oryginalnej pracy[1]. Wyraża ona wszystkie elementy macierzy przez trzy kąty mieszania: \theta_1, \theta_2 i \theta_3, oraz kąt fazy \delta. Kąt \theta_1 jest identyfikowany z kątem Cabibbo. Wprowadzając oznaczenia:

s_i=\sin\theta_i,\qquad c_i=\cos\theta_i

możemy macierz CKM w tej parametryzacji zapisać następująco:

V=\left(\begin{array}{ccc} c_1 & -s_1 c_3 & -s_1 s_3 \\
 s_1 c_2 & c_1 c_2 c_3 - s_2 s_3 e^{i\delta} & c_1 c_2 s_3 + s_2 c_3 e^{i\delta}\\
 s_1 s_2 & c_1 s_2 c_3 + c_2 s_3 e^{i\delta} & c_1 s_2 s_3 - c_2 c_3 e^{i\delta} \end{array}\right).

Parametryzacja standardowa[edytuj | edytuj kod]

Parametryzacja ta została zaproponowana przez Ling-Lie Chau i Wai-Yee Keunga w roku 1984[4] i jest promowana jako standard przez Particle Data Group. Wyraża ona wszystkie elementy macierzy przez trzy kąty mieszania pomiędzy generacjami \theta_{12}, \theta_{13} i \theta_{23}, oraz łamiący CP kąt fazy \delta. Wprowadzając, podobnie jak w poprzednim przypadku, oznaczenia

s_{ij}=\sin\theta_{ij},\qquad c_{ij}=\cos\theta_{ij}

macierz CKM możemy zapisać jako

V=\left(\begin{array}{ccc}
c_{12}c_{13} & s_{12}c_{13} & s_{13}e^{-i\delta}\\
-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta} & c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta} & s_{23}c_{13} \\
s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta} & -c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta} & c_{23}c_{13} \end{array}\right).

Kąt \theta_{12} jest identyfikowany z kątem Cabibbo.

Zaletą parametryzacji standardowej jest to, że wyrazy zawierające część urojoną występują w niej zawsze w połączeniu z s_{13}, są więc małe (z doświadczenia wiadomo, że \sin\theta_{13} jest rzędu 10^{-3}).

Parametryzacja Wolfensteina[edytuj | edytuj kod]

W przybliżonych obliczeniach często wykorzystywana jest parametryzacja Wolfensteina[5]. Parametryzacja ta wykorzystuje obserwowaną doświadczalnie hierarchiczność kątów mieszania:

\sin\theta_{13} \ll \sin\theta_{23} \ll \sin\theta_{12} \ll 1

do przedstawienia macierzy CKM w postaci

V=\begin{pmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\
 -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\
 A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \end{pmatrix} + O(\lambda^4).

parametry \lambda, A, \rho i \eta związane są z kątami mieszania parametryzacji standardowej w następujacy sposób:

 \sin\theta_{12} = \lambda, \quad \sin\theta_{23}=A\lambda^2,\quad \sin\theta_{13}e^{i\delta}=A\lambda^3(\rho+i\eta).

Jak widać z powyższego zapisu, parametryzacja Wolfensteina jest przybliżona z dokładnością do wyrazów rzedu czwartej potęgi sinusa kąta Cabibbo. Istnieją też wersje parametryzacji Wolfensteina dokładne do wyższych rzędów w \lambda

Trójkąt unitarności[edytuj | edytuj kod]

Trójkąt unitarności
Trójkąt macierzy CKM

Macierz CKM jest unitarna, co oznacza między innymi, że spełniony jest warunek:

\sum_k V_{ik}V^*_{jk} = 0\quad\mbox{dla}\quad i\neq j.

Zerowanie się sumy trzech liczb zespolonych oznacza, że liczby te są bokami pewnego trójkąta w płaszczyźnie zespolonej. Trójkąt ten jest nazywany jest trójkątem unitarności. Parę różnych wskaźników i, j możemy wybrać na sześć sposobów, co oznacza, że możemy narysować sześć różnych trójkątów unitarności dla danej macierzy. Można udowodnić, że wszystkie te trójkąty mają takie samo pole powierzchni i jest ono związane z wielkością łamania CP w modelu.

Najczęściej stosowany jest trójkąt unitarności wynikający z zastosowania warunku unitarności do kolumn 1 i 3:

V_{ud}V^*_{ub}+V_{cd}V^*_{cb}+V_{td}V^*_{tb} = 0.

Jeżeli dodatkowo podzielimy to równanie stronami przez V_{cd}V^*_{cb}, wówczas opisywany przez nie trójkąt będzie miał wierzchołki w punktach (0,0)\,, (1,0)\, i (\bar\rho, \bar\eta), gdzie parametry \bar\rho,\ \bar\eta są blisko związane z parametrami \rho,\ \eta z parametryzacji Wolfensteina. Trójkąt ten jest więc dogodnym sposobem graficznego przedstawiania wyników pomiarów parametrów łamania CP w modelu standardowym.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 M. Kobayashi, T. Maskawa. CP Violation in Renormalizable Theory of Weak Interaction. „Progress of Theoretical Physics”. 1973. 49. s. 652 (ang.). 
  2. W.-M. Yao et al., J. Phys. G 33, 1 (2006) and 2007 partial update for the 2008 edition, disponible sur le site web du PDG (URL : http ://pdg.lbl.gov/), Chapter 11. The CKM Quark-Mixing Matrix
  3. K. Nakamura et al.. Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix. „Journal of Physics G”. 37 (075021), 2010. 
  4. Ling-Lie Chau, Wai-Yee Keung. Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix. „Phys. Rev. Lett.”. 1984. 53. s. 1802-1805. doi:10.1103/PhysRevLett.53.1802 (ang.). 
  5. L. Wolfenstein, Physical Review Letters 51 1945 (1983).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]