Macierz unitarna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz unitarnamacierz kwadratowa U \in M_{n \times n}(\mathbb C) spełniająca własność:

U^\dagger U=UU^\dagger=I_n\;

gdzie:

I_n\; jest macierzą jednostkową wymiaru n\;,
U^\dagger\; jest sprzężeniem hermitowskim macierzy U\;.

Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz U\; posiada macierz odwrotną U^{-1} równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

U^\dagger=U^{-1}.

Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

Własności macierzy unitarnej[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej macierzy U słuszne są następujące stwierdzenia:

  • Dla danych wektorów zespolonych x and y, mnożenie przez U zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.

\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle

U = VDV^\dagger

gdzie V jest unitarna, zaś D jest diagonalna i unitarna.

Równoważne warunki[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli U jest zespoloną macierzą kwadratową to następująco warunki są równoważne

  1. U jest unitarna.
  2. U* jest unitarna.
  3. macierz odwrotna do U jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do U, tj.

U^{-1}=U^\dagger

  1. Kolumny U tworzą bazę ortonormalną w \mathbb{C}^n ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  2. Rzędy U tworzą bazę ortonormalną w \mathbb{C}^n ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  3. U jest izometrią ze względu na zwykła normę.
  4. U jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.

Grupa unitarna[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n zbiór wszystkich n x n macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową n x n jako elementem neutralnym możenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną U(n). Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:

 * Iloczyn dwóch macierzy unitarnych n\times n jest macierzą unitarną
 * Macierz odwrotna do macierzy unitarnej n\times n jest unitarna.
 * Macierz jednostkowa n\times n jest unitarna. 

Konstrukcje macierzy unitarnych[edytuj | edytuj kod]

Macierze unitarne 2x2[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 2x2:

U = 
e^{i\varphi}\begin{bmatrix}
a & b \\
-b^* & a^* \\
\end{bmatrix},\qquad |a|^2 + |b|^2 = 1 ,

która zależy od 4 rzeczywistych parametrów (φ oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych a, b). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:


\det(U)=e^{i\varphi} .

Gdy φ=0, to wyznaczniki macierzy jest równy 1; grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).

Macierz U może być napisana w alternatywnej formie:

U = 
e^{i\varphi}\begin{bmatrix}
\cos \theta e^{i\varphi_1} & \sin \theta e^{i\varphi_2}\\
-\sin \theta e^{-i\varphi_2}& \cos \theta e^{-i\varphi_1}\\
\end{bmatrix} ;

po podstawieniu φ1 = ψ + Δ and φ2 = ψ - Δ otrzymamy faktoryzację:

U = 
e^{i\varphi}\begin{bmatrix}
e^{i\psi} & 0 \\
0 & e^{-i\psi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \theta  & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
e^{i\Delta} & 0 \\
0 & e^{-i\Delta}
\end{bmatrix} .

Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2x2 a macierzami obrotu 2x2 o kącie obrotu θ.

Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.

Macierze unitarne 3x3[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 3x3:

U = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & e^{i\varphi_4} & 0 \\
0 & 0 & e^{i\varphi_5}
\end{bmatrix} 
K
\begin{bmatrix}
e^{i\varphi_1} & 0 & 0 \\
0 & e^{i\varphi_2} & 0 \\
0 & 0 & e^{i\varphi_3}
\end{bmatrix}

gdzie φn, n=1,...,5 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, zaś K jest macierzą Cabibbo–Kobayashi–Maskawa.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Macierz

U = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}

jest unitarna, ponieważ

U \, U^\dagger = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I.

(2) Macierz

U = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{bmatrix}

jest unitarna, ponieważ

U \, U^\dagger = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1-i \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2(1+i)(1-i) & (1+i)^2+(1-i)^2 \\ (1-i)^2+(1+i)^2 & 2(1-i)(1+i) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I.

(3) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:

R =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
.

Macierze unitarne w fizyce[edytuj | edytuj kod]

Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.

Macierz ewolucji czasowej[edytuj | edytuj kod]

Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili t otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili t_0 przez macierz ewolucji czasowej U(t,t_0), czyli[1]

|\Psi(t)\rangle=U(t,t_0) |\Psi(t_0)\rangle

Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:

\langle\Psi(t)|
=\langle\Psi(t_0)|U^\dagger(t,t_0)

Ponieważ

U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0)=1

to długość wektora stanu w chwili t wynosi

\langle\Psi(t)|\Psi(t)\rangle
=
\langle\Psi(t_0)|U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0) |\Psi(t_0)\rangle
=
\langle\Psi(t_0)|\Psi(t_0)\rangle

Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.

Wartość oczekiwana pomiaru[edytuj | edytuj kod]

Wartość oczekiwaną pomiaru \langle O\rangle (t) w chwili t z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej O odpowiada operator pomiaru \hat O (reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru[2]:

\langle\hat O\rangle(t)
=
\langle\Psi(t)|\hat O\Psi(t)\rangle

co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan |\Psi(t)\rangle
układu w chwili t
i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej) otrzymamy:

\langle O \rangle(t)
=
\langle\Psi(t)|\hat O\Psi(t)\rangle
=
\langle\Psi(t_0)|U^\dagger(t,t_0)\hat O U(t,t_0) |\Psi(t_0)\rangle

Jeżeli oznaczymy

\hat O(t)=U^\dagger(t,t_0)\hat O U(t,t_0)

to powyższy wzór przyjmie postać:


\langle O\rangle(t)
=
\langle\Psi(t_0)|\hat O(t)\Psi(t_0)\rangle

Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili t_0
ma postać:


\langle O\rangle(t_0)
=
\langle\Psi(t_0)|\hat O(t_0)\Psi(t_0)\rangle

Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem \hat O(t)=U^\dagger(t,t_0)\hat O U(t,t_0)

Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.

Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics. T. I. New York: Hermann, 1977, s. 308-311.
  2. Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics. T. I. New York: Hermann, 1977, s. 312-315.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 2004, str.94-123.