Macierz unitarna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz unitarnamacierz kwadratowa U \in M_{n \times n}(\mathbb C) spełniająca własność:

U^\dagger U=UU^\dagger=I_n\;

gdzie:

I_n\; jest macierzą jednostkową wymiaru n\;,
U^\dagger\; jest sprzężeniem hermitowskim macierzy U\;.

Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz U\; posiada macierz odwrotną U^{-1} równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

U^\dagger=U^{-1}.

Szczególnym przypadkiem macierzy unitanej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej macierzy U słuszne są następujące stwierdzenia:

  • Dla danych wektorów zespolonych x and y, mnożenie przez U zachowuje ich iloczyn wewnętrzny; to jest

\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle

U = VDV^\dagger

gdzie V jest unitarna, zaś D jest diagonalna i unitarna.

  • |\det(U)|=1.
  • Wektory własne macierzy U są ortogonalne.
  • Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n zbiór wszystkich n x n macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako zadanym działaniem grupowym i macierzą jednostkową n x n jako elementem neutralnym możenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną U(n). Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:
 * Iloczyn dwóch macierzy unitarnych n\times n jest macierzą unitarną
 * Macierz odwrotna do macierzy unitarnej n\times n jest unitarna.
 * Macierz jednostkowa n\times n jest unitarna. 

Równoważne warunki[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli U jest zespoloną macierzą kwadratową to następująco warunki są równoważne

  1. U jest unitarna.
  2. U* jest unitarna.
  3. macierz odwrotna do U jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do U, tj.

U^{-1}=U^\dagger

  1. Kolumny U tworzą bazę ortonormalną w \mathbb{C}^n ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  2. Rzędy U tworzą bazę ortonormalną w \mathbb{C}^n ze względu na iloczyn wewnętrzny.
  3. U jest izometrią ze względu na zwykła normę.
  4. U jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.

Elementarne konstrukcje[edytuj | edytuj kod]

Macierz unitarna 2x2[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 2x2:

U = 
e^{i\varphi}\begin{bmatrix}
a & b \\
-b^* & a^* \\
\end{bmatrix},\qquad |a|^2 + |b|^2 = 1 ,

która zależy od 4 rzeczywistych parametrów (φ oraz trzy parametry nizależne występujące w zapisie liczb zespolonych a, b). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:


\det(U)=e^{i\varphi} .

Gdy φ=0, to wyznaczniki macierzy jest równy 1; grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).

Macierz U może być napisana w alternatywnej formie:

U = 
e^{i\varphi}\begin{bmatrix}
\cos \theta e^{i\varphi_1} & \sin \theta e^{i\varphi_2}\\
-\sin \theta e^{-i\varphi_2}& \cos \theta e^{-i\varphi_1}\\
\end{bmatrix} ;

po podstawieniu φ1 = ψ + Δ and φ2 = ψ - Δ otrzymamy faktoryzację:

U = 
e^{i\varphi}\begin{bmatrix}
e^{i\psi} & 0 \\
0 & e^{-i\psi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos \theta  & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
e^{i\Delta} & 0 \\
0 & e^{-i\Delta}
\end{bmatrix} .

Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2x2 a macierzami obrotu 2x2 o kącie obrotu θ.

Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.

Macierz unitarna 3x3[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać macierzy unitarnej 3x3:

U = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & e^{j\varphi_4} & 0 \\
0 & 0 & e^{j\varphi_5}
\end{bmatrix} 
K
\begin{bmatrix}
e^{j\varphi_1} & 0 & 0 \\
0 & e^{j\varphi_2} & 0 \\
0 & 0 & e^{j\varphi_3}
\end{bmatrix}

gdzie φn, n=1,...,5 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, zaś K jest macierzą Cabibbo–Kobayashi–Maskawa.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Macierz

U = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}

jest unitarna, ponieważ

U \, U^\dagger = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I.

(2) Macierz

U = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{bmatrix}

jest unitarna, ponieważ

U \, U^\dagger = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1-i \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2(1+i)(1-i) & (1+i)^2+(1-i)^2 \\ (1-i)^2+(1+i)^2 & 2(1-i)(1+i) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I.

(3) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:

R =
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
.

Zastosowania w fizyce[edytuj | edytuj kod]

Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej ponieważ zachowują długość wektora stanu |\Psi\rangle czyli prawdopodobieństwo. Macierze U mnożona przez operator pomiaru opisują ewolucję czasową tego operatora. Unitarność zapewnia, że zawsze otrzymamy prawdopodobieństwo całkowite unormowane do 1, mimo że wynik pomiaru wykonany na stanie |\Psi\rangle operatorem pomiaru \tilde O ( reprezentowany przez macierz hermitowską) i mnożony przez operator ewolucji czasowej U będzie zależał od czasu. Przykładami macierzy unitarnych są

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa 2004, str.94-123.