Argument liczby zespolonej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Argument liczby zespolonejmiara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: \arg(z).

Argument nie jest określony jednoznacznie – dowolne dwa argumenty liczby zespolonej różnią się o wielokrotność 2\pi. Argument sprowadzony do przedziału [0, 2\pi),[1][2][3] lub (-\pi, \pi][4][5], nazywa się argumentem głównym. Oznaczenie: \mbox{Arg}(z).

Argument wykorzystuje się m.in. w zapisie trygonometrycznym liczby zespolonej:

a+bi = r(\cos \phi + i \sin \phi)\;,

gdzie r=\sqrt{a^2+b^2}=|z| jest modułem liczby zespolonej, a \phi jej argumentem.

Dla liczb o niezerowej części rzeczywistej wartość argumentu może być obliczona ze wzoru:

\varphi=\begin{cases} \operatorname{arc tg}\left({b \over a}\right), & \mbox{gdy } a > 0 \\ \operatorname{arc tg}\left({b \over a}\right)+\pi, & \mbox{gdy }a < 0 \end{cases}

Dla liczb urojonych, z = bi:

\varphi = \begin{cases}{1\over 2}\pi, & \mbox{gdy } b > 0 \\
-{1\over 2}\pi, & \mbox{gdy } b < 0 \end{cases}

Dla liczby z = 0, argument jest nieokreślony.

Niech  a+bi= r (\cos \phi + i \sin \phi)\; oraz niech  c+di = \rho(\cos \psi + i \sin \psi)\;, wówczas iloczyn i iloraz liczb zespolonych wyrażają się wzorami:

  • (a+bi) \cdot (c+di) = r \cdot \rho (\cos (\phi+\psi) + i \sin(\phi+\psi))
  • \frac{a+bi}{c+di} = \frac r \rho (\cos(\phi-\psi) + i \sin(\phi-\psi))

Przypisy

  1. Mostowski, Stark - Elementy algebry wyższej
  2. Bogdan Miś - Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki
  3. Reinhardt, Soeder - Atlas matematyki
  4. Mathworld
  5. Encyklopedia szkolna - Matematyka