Sprzężenie hermitowskie macierzy

Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzorem

$A=(a_{ij}) \mapsto A^\dagger = (\overline {a_{ji}})$.

Innymi słowy.

$A^\dagger = \overline A^T = \overline {A^T}$.

Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy na operatory na przestrzeniach Hilberta jest pojęcie operatora sprzężonego. Inne oznaczenia sprzężenia hermitowskiego to $\mathbf{A}^* \,\!$, $\mathbf{A}^\mathrm{H} \,\!$ i $\mathbf{A}^+ \,\!$.

Przykład

$A=\begin{bmatrix} 1 & 100-999i & 0 \\ 1+2i & 2+3i & 0 \\ -i & 3-4i & 3 \end{bmatrix} \mapsto A^\dagger = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & i \\ 100+999i & 2-3i & 3+4i \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

Własności

Niech A i B będą macierzami oraz niech $\lambda$ będzie liczbą zespoloną. Wówczas:

• $(A+B)^\dagger = A^\dagger + B^\dagger \;$ (gdy macierze A i B mają takie same wymiary),
• $(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger\,$ (gdy iloczyn AB ma sens),
• $(\lambda A)^\dagger = \overline{\lambda}A^\dagger$
• $(A^\dagger)^\dagger=A\,$.
• $\det(A^\dagger)=\det A$ oraz $\operatorname{tr} A^\dagger=\operatorname{tr}A$, o ile A jest kwadratowa,
• wartości własne macierzy $A^\dagger$ to zespolone sprzężenia wartości własnych macierzy $A$

Pojęcia związane ze sprzężeniem hermitowskim

Macierz kwadratowa A o wyrazach a_ij jest nazywana

• hermitowską, gdy $A=A^\dagger$, czyli, $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ 
• antyhermitowską, gdy $A=-A^\dagger$, czyli $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$ 
• normalną, gdy $AA^\dagger=A^\dagger A$
• unitarną, $A^\dagger=A^{-1}$.

Zobacz też

• Macierz hermitowska