Sprzężenie hermitowskie macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Sprzężenie hermitowskie macierzyzłożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzorem

A=(a_{ij}) \mapsto A^\dagger = (\overline {a_{ji}}).

Innymi słowy.

A^\dagger = \overline A^T = \overline {A^T}.

Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy na operatory na przestrzeniach Hilberta jest pojęcie operatora sprzężonego. Inne oznaczenia sprzężenia hermitowskiego to \mathbf{A}^* \,\!, \mathbf{A}^\mathrm{H} \,\! i \mathbf{A}^+ \,\!.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

A=\begin{bmatrix}
1 & 100-999i & 0 \\
1+2i & 2+3i & 0 \\
-i & 3-4i & 3
\end{bmatrix} \mapsto A^\dagger = \begin{bmatrix}
1 & 1-2i & i \\
100+999i & 2-3i & 3+4i \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech A i B będą macierzami oraz niech \lambda będzie liczbą zespoloną. Wówczas:

  • (A+B)^\dagger = A^\dagger + B^\dagger \; (gdy macierze A i B mają takie same wymiary),
  • (AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger\, (gdy iloczyn AB ma sens),
  • (\lambda A)^\dagger = \overline{\lambda}A^\dagger
  • (A^\dagger)^\dagger=A\,.
  • \det(A^\dagger)=(\det A)^{*} oraz \operatorname{tr} A^\dagger=\operatorname{tr}A, o ile A jest kwadratowa,
  • wartości własne macierzy A^\dagger to zespolone sprzężenia wartości własnych macierzy A

Pojęcia związane ze sprzężeniem hermitowskim[edytuj | edytuj kod]

Macierz kwadratowa A o wyrazach aij jest nazywana

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]