Macierz hermitowska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) - macierz kwadratowa A=(a_{ij}) równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek

(a_{ij})=(\overline{a_{ji}}).

W przypadku macierzy o wyrazach rzeczywistych, macierze hermitowskie to po prostu macierze symetryczne. Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem pojęcia macierzy hermitowskiej jest pojęcie operatora samosprzężonego.

Przykładem macierzy hermitowskiej może być macierz

A=\begin{bmatrix}
2 & 1-2i & i \\
1+2i & -2 & 3+2i \\
-i & 3-2i & 5
\end{bmatrix}.

Jest ona hermitowska, ponieważ:

 
A^\dagger = \left( \begin{bmatrix}
2 & 1-2i & i \\
1+2i & -2 & 3+2i \\
-i & 3-2i & 5
\end{bmatrix}^T \right)^\ast = \begin{bmatrix}
2 & 1-2i & i \\
1+2i & -2 & 3+2i \\
-i & 3-2i & 5
\end{bmatrix} =
A

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.
  • Macierze hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne. Istotnie, niech \lambda będzie wartością własną macierzy A, tj. Ax=\lambda x dla pewnego niezerowego wektora x. Wówczas
 \lambda \langle  x,x \rangle= \langle \lambda x,x \rangle  = \langle Ax,x \rangle = \langle x,Ax\rangle = \langle x, \lambda x \rangle = {\overline \lambda} \langle x, x \rangle,
co dowodzi, że \lambda jest liczbą rzeczywistą ponieważ \lambda=\overline{\lambda}.
  • Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne. Niech \lambda_1 i \lambda_2 będą różnymi wartościami własnymi macierzy A dla pewnych wektorów, kolejno x_1 i x_2, tj. Ax_1=\lambda_1 x_1 oraz Ax_2=\lambda_2 x_2. Wówczas:
 \lambda_2 \langle x_1,x_2 \rangle= \langle x_1,\lambda_2 x_2 \rangle = \langle x_1,Ax_2 \rangle = \langle A^{\dagger}x_1,x_2 \rangle = \langle \lambda_1^*x_1,x_2 \rangle = \lambda_1^* \langle x_1,x_2 \rangle
zgodnie z poprzednią własnością, wartości własne są rzeczywiste, a więc \lambda_1^*=\lambda_1, stąd:
\lambda_2 \langle x_1,x_2 \rangle = \lambda_1 \langle x_1,x_2 \rangle \Rightarrow (\lambda_2-\lambda_1) \langle x_1,x_2 \rangle = 0
ponieważ \lambda_2 \neq \lambda_1 (macierz niezdegenerowana), \langle x_1,x_2 \rangle=0, a więc wektory x_1 i x_2 są ortogonalne
  • Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.

Formy hermitowskie[edytuj | edytuj kod]

Formę g na zespolonej przestrzeni liniowej V nazywa się hermitowską jeżeli

  1. g(a_1\xi_1+a_2\xi_2, \vartheta)=a_1 g(\xi_1, \vartheta)+ a_2 g(\xi_2, \vartheta)\;\;\;(a_1, a_2\in \mathbb{C}, \xi_1, \xi_2, \vartheta\in V)
  2. g(\xi, \vartheta)=\overline{g(\vartheta, \xi)}\;\;\;(\xi, \vartheta\in V).

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli A jest n-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

g(\xi, \vartheta)=\xi A \vartheta^T\;\;\;(\xi, \vartheta \in \mathbb{C}^n)

definiuje formę hermitowską w przestrzeni \mathbb{C}^n (symbol \vartheta^T oznacza postać kolumnową wektora poziomego \vartheta).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]