Przestrzeń Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Do najprostszych przykładów przestrzeni Hilberta można zaliczyć przestrzenie euklidesowe dowolnego skończonego wymiaru ze standardowym iloczynem skalarnym (w gruncie rzeczy: dowolną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową), w szczególności: zbiór liczb rzeczywistych ze standardowym mnożeniem. Innym przykładem może być zespolona przestrzeń euklidesowa, tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb zespolonych wymiaru \scriptstyle n z zespolonym iloczynem skalarnym, tzn. dodatnio określoną formą półtoraliniową. W tym wypadku wybór iloczynu skalarnego nie wpływa na zupełność przestrzeni z indukowaną z niego metryką, co wynika z równoważności metryk (bądź równoważności norm) na przestrzeniach liniowych ustalonego wymiaru skończonego nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Naturalnymi przykładami wspomnianych przestrzeni są przestrzenie współrzędnych \scriptstyle \mathbb R^n i \scriptstyle \mathbb C^n z formami danymi odpowiednio wzorami

\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_{i=1}^n x_i y_i \qquad\mbox{ oraz }\qquad \mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i},

gdzie \scriptstyle \mathbf x = (x_1, \dots, x_n) oraz \scriptstyle \mathbf y = (y_1, \dots, y_n) są wektorami danej przestrzeni, zaś \scriptstyle \overline z oznacza sprzężenie zespolone liczby \scriptstyle z (dla liczby rzeczywistej \scriptstyle r zachodzi \scriptstyle \overline r = r). Norma indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem

\|\mathbf x\| = \sqrt{\mathbf x \cdot \mathbf x},

zaś metryka od niej pochodząca wyraża się wzorem

d(\mathbf x, \mathbf y) = \|\mathbf x - \mathbf y\|,

przy czym jest ona zupełna.

Klasycznymi przykładami przestrzeni Hilberta są

Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych, natomiast przestrzenie Hardy'ego znajdują zastosowania w analizie harmonicznej i analizie zespolonej. Przestrzenie 2 oraz L2(μ) są fundamendalne dla mechaniki kwantowej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Samosprzężoność[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta H mówi, że każdemu elementowi fH (tj. każdemu ciągłemu funkcjonałowi liniowemu na H) odpowiada jednoznacznie taki element yfH, że

f(x) = \langle x, y_f \rangle_H\;\;(x\in H).

Odwzorowanie

\Lambda\colon H^*\to H

dane wzorem

\Lambda(f)=y_f\;\;(f\in H^*)

jest antyliniowym izometrycznym izomorfizmem. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony f określony na przestrzeni unitarnej U można zapisać wzorem f = \langle \cdot, y_f\rangle dla pewnego yfU, to U jest przestrzenią Hilberta (tj. jest ona zupełna).

Refleksywność[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń Hilberta H jest refleksywna, tj. odwzorowanie

\kappa\colon H\to H^{**}

dane wzorem

\big(\kappa(x)\big)(f) = f(x)\;\;\;(x\in H, f\in H^*)

jest "na".

Dówod. Z twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta) wynika, że istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm

\Lambda \colon H^*\to H.

Niech x0** będzie ustalonym elementem przestrzeni H**. Wówczas funkcjonał f0 dany wzorem

f_0(x)=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(x))},\,\;\; (x\in H)

jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu x przestrzeni H oraz dowolnego fH* zachodzi:

\big(\kappa(\Lambda f_0)\big)(f)=f\big(\Lambda f_0)\big)=\langle \Lambda f_0,\Lambda f\rangle =\overline{\langle \Lambda f,\Lambda f_0\rangle}=\overline{f_0(\Lambda f)}=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(\Lambda x^*))}=x_0^{**}(f),

a zatem

\kappa(\Lambda f_0)=x_0^{**},

co oznacza, że odwzorowanie κ jest "na", więc przestrzeń H jest refleksywna. \square

Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są jednostajnie wypukłymi przestrzeniami Banacha, a więc na mocy twierdzenia Clarsksona-Milmana są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z reguły równoległoboku, która charakteryzuje przestrzenie unitarne). Przestrzenie Hilberta mają nawet mocniejszą własność - są one superrefleksywne.

Ośrodkowość[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: przestrzeń ośrodkowa.

Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające przeliczalny podzbiór gęsty) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta:

Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o ciężarze \scriptstyle \kappa jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią \scriptstyle \ell^2(\kappa), w szczególności \scriptstyle \ell^2(\aleph_0) = \ell^2.

Charakteryzacja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rangle nad ustalonym ciałem. Następujące stwierdzenia są równoważne:

1. X jest przestrzenią Hilberta;
2. każda domknięta podprzestrzeń liniowa M przestrzeni X ma własność najmniejszej odległości:
dla każdego xX istnieje taki element PM(x) ∈ M, że
\mathrm{dist}(x, M) = \|x -  P_M(x)\|,
przy czym PM oznacza rzut na podprzestrzeń M
3. X ma własność rozkładu ortogonalnego:
dla każdej domkniętej podprzestrzeni M przestrzeni X zachodzi
X = M \oplus M^\perp
4. \scriptstyle X ma własność reprezentacji Riesza:
dowolny ciągły funkcjonał liniowy na X jest postaci \langle \cdot, y\rangle dla pewnego yX.

Poszczególne implikacje mają swoje nazwy:

\scriptstyle 1 \Rightarrow 2 to twierdzenie o najlepszej aproksymacji (o zbiorze wypukłym),
\scriptstyle 1 \Rightarrow 3 to twierdzenie o rzucie ortogonalnym,
\scriptstyle 1 \Rightarrow 4 to twierdzenie Riesza o reprezentacji;

równoważność \scriptstyle 2 \Leftrightarrow 3 jest treścią lematu do twierdzenia o rzucie ortogonalnym.

Z geometrycznego punktu widzenia wynika to ze wzajemnej odpowiedniości zbalansowanych zbiorów wypukłych i funkcjonałów liniowych oraz reguły równoległoboku charakteryzującej przestrzenie Hilberta wśród przestrzeni Banacha (por. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Inną tego rodzaju charakteryzacją jest następujące twierdzenie: przestrzeń Banacha jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów wysokości wyznaczanego przez wspomniane punkty trójkąta przecinają się w jednym punkcie[1]. Kolejne charakteryzacje można znaleźć w pracy Pełczyńskiego.

Sumy proste[edytuj | edytuj kod]

Do naturalnych konstrukcji przestrzeni Hilberta należy (ortogonalna) suma prosta przestrzeni Hilberta

H = H_1 \oplus H_2,

tj. algebraiczna suma prosta przestrzeni Hilberta H1, H2 z iloczynem skalarnym danym wzorem

\bigl\langle (x_1, y_1),\ (x_2, y_2) \bigr\rangle_H = \langle x_1, x_2 \rangle_{H_1} + \langle y_1, y_2 \rangle_{H_2}\;\;\;\;\;\big((x_1, y_1), (x_2, y_2)\in H \big),

skąd

\|(x_1, y_1)\| = \sqrt{\|x_1\|^2 + \|y_1\|^2 }.

Pojęcie to można uogólnić na dowolną rodzinę przestrzeni Hilberta (por. Sumy proste przestrzeni Banacha).

Niech (Hi) iI będzie rodziną przestrzeni Hilberta indeksowaną elementami pewnego zbioru I. Symbolem

\textstyle{\bigoplus_{i\in I}H_i}

oznacza się przestrzeń Hilberta wszystkich funkcji f na zbiorze I spełniających warunki

  • f(i)Hi dla każdego i;
  • zbiór {iH: f(i) ≠ 0} jest przeliczalny
  • \textstyle{\sum_{i\in I}\|f_i\|^2 }<\infty.

wyposażoną w normę

\textstyle{\|f\| = \left(\sum_{i\in I}\|f_i\|^2 \right)^{\tfrac{1}{2}}\;\;\;(f\in \bigoplus_{i\in I}H_i).}

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. O. N. Kosukhin. A geometric criterion for the Hilbert property of a Banach space. „Moscow University Mathematics Bulletin”. 63 (5), s. 205-207, 2008. Allerton Press, Inc.. doi:10.3103/S0027132208050070. ISSN 0027-1322 (ang.).