Macierz transponowana

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz transponowana (przestawiona) macierzy $A\$ to macierz $A^T\$, która powstaje z danej poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywamy transpozycją (przestawianiem).

Dla macierzy $A=(a_{ij})\$:

$A^T = (a_{ij})^T = (a_{ji})\$.

Przykład

Dla macierzy:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

macierzą transponowaną jest:

$A^T=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 2\\ 3 & 2 & 2\\ 1 & 0 & 0\\ 4 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.

Macierz kwadratową nazywamy symetryczną, jeżeli jest równa swojej transpozycji — oznacza to po prostu, że macierz jest symetryczna względem swojej przekątnej głównej.

Własności operacji transponowania

Niech $A, B \in M_{n \times m}(K)$, wówczas:

• $(A^T)^T = A \,$,
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T,\quad \alpha \in K$,
• $(A + B)^T = A^T + B^T \,$,
• $(A B)^T = B^T A^T$.

Ponadto transpozycja nie wpływa na wyznacznik macierzy ani ślad macierzy kwadratowej:

• $\det A^T = \det A \,$,
• $\operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}(A)$.

Jeżeli $\mathbf a, \mathbf b$ to wektory, to dodatkowo zachodzi:

• $(A^T\mathbf a)^T \cdot \mathbf b = \mathbf a^T \cdot (A\mathbf b)$,

gdzie $\cdot$ to iloczyn skalarny wektorów.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• sprzężenie hermitowskie