Macierz transponowana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz transponowana (przestawiona) macierzy A\ to macierz A^T\ , która powstaje z danej poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywamy transpozycją (przestawianiem).

Dla macierzy A=(a_{ij})\ :

A^T = (a_{ij})^T = (a_{ji})\ .

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Dla macierzy:

A=\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1 & 4\\
-1 & 2 & 0 & 1\\
2 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix}

macierzą transponowaną jest:

A^T=\begin{bmatrix}
2 & -1 & 2\\
3 & 2 & 2\\
1 & 0 & 0\\
4 & 1 & 1
\end{bmatrix}.

Macierz kwadratową nazywamy symetryczną, jeżeli jest równa swojej transpozycji — oznacza to po prostu, że macierz jest symetryczna względem swojej przekątnej głównej.

Własności operacji transponowania[edytuj | edytuj kod]

Niech A, B \in M_{n \times m}(K), wówczas:

  • (A^T)^T = A \,,
  • (\alpha A)^T = \alpha A^T,\quad \alpha \in K,
  • (A + B)^T = A^T + B^T \,,
  • (A B)^T = B^T A^T.

Ponadto transpozycja nie wpływa na wyznacznik macierzy ani ślad macierzy kwadratowej:

  • \det A^T = \det A \,,
  • \operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}(A).

Jeżeli \mathbf a, \mathbf b to wektory, to dodatkowo zachodzi:

  • (A^T\mathbf a)^T \cdot \mathbf b = \mathbf a^T \cdot (A\mathbf b),

gdzie \cdot to iloczyn skalarny wektorów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]