Metoda rozkładu Pełczyńskiego
Metoda rozkładu Pełczyńskiego – twierdzenie stosowane do dowodzenia istnienia izomorfizmu pomiędzy parą przestrzeni Banacha. Twierdzenie udowodnione w 1960 roku przez polskiego matematyka, Aleksandra Pełczyńskiego[1], najczęściej znane jest w następującym sformułowaniu:
Niech X i Y będą takimi przestrzeniami Banacha, że X jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią przestrzeni Y, natomiast Y jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią przestrzeni X. Niech ponadto spełniony będzie którykolwiek z poniższych warunków:
- a) X ≃ X ⊕ X oraz Y ≃ Y ⊕ Y,
- b) X ≃ ℓp(X) dla pewnego p ∈ [1, ∞) bądź X ≃ c0(X).
Wówczas, przestrzeń X jest izomorficzna z Y.
Powyżej, symbole c0(X) i ℓp(X) oznaczają, odpowiednio, c0-sumę i ℓp-sumę przeliczalnie wielu kopii przestrzeni X.
Dowód[edytuj | edytuj kod]
Niech X ≃ Y ⊕ E oraz Y ≃ X ⊕ F dla pewnych przestrzeni E i F. Pod założeniem a), z uwagi na to, że Y ≃ Y ⊕ Y, istnieje izomorfizm
- X ≃ Y ⊕ Y ⊕ E ≃ Y ⊕ X ≃ X ⊕ Y ≃ X ⊕ X ⊕ Y ≃ X ⊕ X ⊕ X ⊕ F ≃ X ⊕ X ⊕ F ≃ X ⊕ F ≃ Y.
Pod założeniem b), w szczególności zachodzi X ≃ X ⊕ X. Wówczas Y ≃ X ⊕ F ≃ X ⊕ X ⊕ F ≃ X ⊕ Y. Zachodzi więc
- X ≃ ℓp(X) ≃ ℓp(Y ⊕ E) ≃ ℓp(Y) ⊕ ℓp(E) ≃ Y ⊕ ℓp(Y) ⊕ ℓp(E) ≃ Y ⊕ X ≃ X ⊕ Y ≃ Y.
Analogiczny dowód przeprowadza się dla X ≃ c0(X).
Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]
- Korzystając z metody rozkładu Pełczyńskiego można udowodnić, że każda nieskończenie wymiarowa komplementarna podprzestrzeń przestrzeni c0 bądź przestrzeni ℓp (p ∈ [1, ∞)) jest izomorficzna z wyjściową przestrzenią.
- Można dowieść, używając metody rozkładu Pełczyńskiego, że przestrzenie Banacha ℓ∞ i L∞[0,1] są izomorficzne[2] (nie są one jednak izometryczne).
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
- Timothy Gowers udowodnił, że istnieje para przestrzeni Banacha X i Y o tej własności że X jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią przestrzeni Y oraz Y jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią przestrzeni X, natomiast X nie jest izomorficzna z Y (jest to negatywne rozwiązanie tzw. problemu Schrödera–Bernsteina dla przestrzeni Banacha)[3].
- Piotr Koszmider skonstruował parę całkowicie niespójnych przestrzeni zwartych K1 i K2 o tej własności, że C(K1) jest izometrycznie izomorficzne z komplementarną podprzestrzenią C(K2) i vice versa, ale przestrzenie Banacha C(K1) i C(K2) nie są izomorficzne[4].
- Valentin Ferenczi i Elói Medina Galego skonstruowali continuum wzajemnie nieizomorficznych ośrodkowych przestrzeni Banacha o tej własności, że dla każdej pary X i Y przestrzeni spośród tej klasy X jest izomorficzne z komplementarną podprzestrzenią Y i Y jest izomorficzne z komplementarną podprzestrzenią X[5]
- W literaturze istnieją dalsze uogólnienia metody rozkładu Pełczyńskiego[6][7].
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ A. Pełczyński, Projections in certain Banach Spaces, Studia Math., 19 (1960), 209-228.
- ↑ A. Pełczyński, On the isomorphism of the spaces m and M. Bull. Acad. Pol. Sci, 6 (1958), 695-696.
- ↑ W. T. Gowers, A solution to the Schroeder-Bernstein problem for Banach spaces, Bull. London Math. Soc. 28, 297–304 (1996).
- ↑ P. Koszmider, A C(K) Banach space which does not have the Schroeder-Bernstein property, Studia Math., 212 (2012), 95-117. arXiv:1106.2917
- ↑ V. Ferenczi, E.M. Galego, Some results about the Schroeder-Bernstein Property for separable Banach spaces, Canad. J. Math. 591 (2007), 63–84.
- ↑ E.M. Galego, Generalizations of Pełczyński’s decomposition method for Banach spaces containing a complemented copy of their squares, Archiv der Mathematik, 90, 6 (2008), 530-536.
- ↑ E.M. Galego, Towards a maximal extension of Pełczyński's decomposition method in Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications 356, Issue 1 (2009), 86–95.
Literatura[edytuj | edytuj kod]
- Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006, s. 34-36. ISBN 978-0-387-28141-4.
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, 1998. ISBN 978-0-387-98431-5.