Continuum (teoria mnogości)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Continuum – w teorii mnogości, moc zbioru liczb rzeczywistych, oznaczana zwykle symbolem \mathfrak c.

Historia[edytuj | edytuj kod]

W roku 1874 Georg Cantor udowodnił, że nie istnieje funkcja zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych[1], co oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest liczniejszy niż zbiór liczb naturalnych; w związku z tym nie jest on przeliczalny. Popularnym sposobem dowodzenia tego faktu jest pochodząca również od Cantora[2] tzw. metoda przekątniowa.

Prawdziwe jest również twierdzenie mówiące, że zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych \mathcal P(\mathbb N), tzn.

\mathfrak c = 2^{\aleph_0}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Hipoteza continuum[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: hipoteza continuum.
Information icon.svg Zobacz też: skala alefówskala betów.

Hipoteza continuum, czyli pytanie o to, czy \mathfrak c jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, stało się katalizatorem rozwoju teorii mnogości w początkach XX wieku. Sam problem został rozwiązany częściowo w 1939 roku przez Kurta Gödla[3] i ostatecznie w 1964 przez Paula Cohena[4][5].

Jedną z konsekwencji aksjomatu wyboru jest fakt mówiący o tym, że zbioru liczb rzeczywistych nie można przedstawić w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów mocy mniejszej niż \mathfrak{c} – innymi słowy, kofinalność \mathfrak{c} jest nieprzeliczalna. Nieprzeliczalna kofinalność liczby kardynalnej \kappa jest więc warunkiem koniecznym na to, by \kappa "mogła być równa" continuum. Robert M. Solovay udowodnił w istocie, że jest to również warunek wystarczający – dokładniej, pokazał on, że jeżeli teoria mnogości ZFC jest niesprzeczna, to dla pewnego przeliczalnego modelu ZFC, w którym \kappa jest liczbą kardynalną o nieprzeliczalnej kofinalności, istnieje rozszerzenie generyczne w którym liczby kardynalne z modelu wyjściowego się nie kolapsują oraz \mathfrak{c}=\kappa. Solovay wyszedł od przeliczalnego modelu ZFC + GCH do którego dodał \kappa liczb losowych (\kappa jest liczbą kardynalną o nieprzeliczalnej kofinalności)[6].

Przypisy

  1. Georg Cantor. Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen. „Journal für die Reine und Angewandte Mathematik”, s. 258–262, 1874. 
  2. Georg Cantor. Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. „Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”, s. 75–78, 1891. 
  3. K. Gödel: Consistency-proof for the generalized continuum-hypothesis. "Proc. nat. Acad. Sci. USA" 25 (1939), ss. 220-224.
  4. P. Cohen: The independence of the continuum hypothesis. "Proc. nat. Acad. Sci. USA." 50 (1963), ss. 1143-1148.
  5. P. Cohen: The independence of the continuum hypothesis. II. "Proc. nat. Acad. Sci. USA." 51 (1964), ss. 105-110.
  6. R. M. Solovay: 20 can be anything it ought to be, The Theory of Models (J. W. Addison, L. Henkin, and A. Tarski, eds.), North-Holland, 1964, ss. 435.