Przestrzeń ośrodkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).

Klasycznym przykładem przestrzeni ośrodkowej jest zbiór liczb rzeczywistych z metryką euklidesową. Ośrodkiem jest na przykład zbiór liczb wymiernych.

Przykładem przestrzeni nieośrodkowej może być również prosta rzeczywista, ale z topologią dyskretną, czyli prosta rzeczywista, w której każdy punkt jest zbiorem otwartym.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  1. Przestrzeń topologiczna o bazie przeliczalnej, tzn. przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest ośrodkowa. Z drugiej strony prosta Sorgenfreya jest przykładem przestrzeni topologicznej ośrodkowej, która nie ma przeliczalnej bazy.
  2. Przestrzeń metryzowalna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, kiedy posiada bazę przeliczalną.
  3. Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa. Założenie metryzowalności jest istotne - produkt dwóch prostych Sorgenfreya jest przestrzenią ośrodkową posiadającą podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, a więc nieośrodkową.
  4. Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
  5. Iloczyn kartezjański \le 2^{\aleph_0} wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
  6. Przestrzeń ośrodkowa przekształcona przez funkcję ciągłą jest ośrodkowa.
  7. Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa ma moc nie większą niż 2^\mathfrak{c}, gdzie \mathfrak{c} to continuum. Fakt ten nie jest prawdziwy dla przestrzeni spełniających aksjomat T_1. Istotnie niech X będzie dowolnym zbiorem nieskończonym, na którym rozważamy topologię składającą się ze zbiorów będących dopełnieniami zbiorów skończonych, tzn. \tau=\{X\setminus F:F jest skończony\}. Wówczas (X,\tau) jest przestrzenią T_1, w której ośrodkiem jest dowolny zbiór przeliczalny nieskończony. To pokazuje, że istnieją ośrodkowe przestrzenie T_1 dowolnej mocy.