Przestrzeń ośrodkowa

Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).

Klasycznym przykładem przestrzeni ośrodkowej jest zbiór liczb rzeczywistych z metryką euklidesową. Ośrodkiem jest na przykład zbiór liczb wymiernych.

Przykładem przestrzeni nieośrodkowej może być również prosta rzeczywista, ale z topologią dyskretną, czyli prosta rzeczywista, w której każdy punkt jest zbiorem otwartym.

Podstawowe własności

1. Przestrzeń topologiczna o bazie przeliczalnej, tzn. przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest ośrodkowa. Z drugiej strony prosta Sorgenfreya jest przykładem przestrzeni topologicznej ośrodkowej, która nie ma przeliczalnej bazy.
2. Przestrzeń metryzowalna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, kiedy posiada bazę przeliczalną.
3. Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa. Założenie metryzowalności jest istotne - produkt dwóch prostych Sorgenfreya jest przestrzenią ośrodkową posiadającą podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, a więc nieośrodkową.
4. Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
5. Iloczyn kartezjański $\le 2^{\aleph_0}$ wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
6. Przestrzeń ośrodkowa przekształcona przez funkcję ciągłą jest ośrodkowa.
7. Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa ma moc nie większą niż $2^\mathfrak{c}$, gdzie $\mathfrak{c}$ to continuum. Fakt ten nie jest prawdziwy dla przestrzeni spełniających aksjomat $T_1$. Istotnie niech $X$ będzie dowolnym zbiorem nieskończonym, na którym rozważamy topologię składającą się ze zbiorów będących dopełnieniami zbiorów skończonych, tzn. $\tau=\{X\setminus F:F$ jest skończony$\}$. Wówczas $(X,\tau)$ jest przestrzenią $T_1$, w której ośrodkiem jest dowolny zbiór przeliczalny nieskończony. To pokazuje, że istnieją ośrodkowe przestrzenie $T_1$ dowolnej mocy.