Metryka Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej X.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, d) będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a H(X) przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni X. Niech A i B będą elementami przestrzeni H(X), a x,y elementami przestrzeni X, przy czym x \in A, y \in B. Wyrażenia:

\delta(x,B)=\inf \{ d(x,y)\colon y \in B \}
\delta(y,A)=\inf \{ d(x,y)\colon x \in A \}

oznaczają odpowiednio odstęp punktu x od zbioru B i odstęp punktu y od zbioru A. Z kolei wyrażenia:

\delta(A,B)=\sup \{\delta(x,B)\colon x \in A \}
\delta(B,A)=\sup \{\delta(y,A)\colon y \in B \}

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru A od zbioru B i odstęp zbioru B od zbioru A.
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję h\colon H(X) \times H(X) \to [0; \infty) określoną wzorem:[1][2][3]

h(A,B)=\max \{\delta(A,B), \delta(B,A) \}

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów A i B.
  • Gdy A \subseteq B, to \delta(A, B) = 0.
  • Gdy B \backslash A \neq \emptyset, to \delta(B, A) \neq 0.
  • Odstępy  \delta(A,B)  i  \delta(B,A)  mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy A  jest podzbiorem właściwym zbioru B.
  • Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku \epsilon-otoczeń. Dla danego zbioru A i \epsilon > 0 oznaczamy B(x,\epsilon) kulę o środku x i promieniu  \epsilon oraz określamy
 A_\epsilon=\bigcup_{x\in A} B(x,\epsilon).
Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:
 h(A,B) = \inf\, \{\epsilon \;\colon \; B\subset A_\epsilon   oraz    A\subset B_\epsilon\}.
  • Odwzorowanie x \mapsto \{x\} jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni X w przestrzeń H(X). Ponadto zbiór \{\{x\}:x\in X\} jest domknięty w H(X), co oznacza, że ciąg zbiorów jednoelementowych może zbiegać co najwyżej do zbioru jednoelementowego.
  • Przestrzeń  (H(X),\, h),  z wprowadzoną metryką Hausdorffa h jest przestrzenią metryczną zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zupełna[1][2][4].
  • Topologia przestrzeni (H(X), h) zależy od topologii przestrzeni (X,\,d),  a nie od samej metryki d:  gdy metrykę d zastąpić przez topologicznie równoważną d' (obie w X), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w H(X) będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w H(X)).
  • Zbiór \{F\subset X:F jest skończony \} jest gęsty w H(X).

Przykład[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni (\mathbb{R}^2, d) z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: A\colon =[-2; 1]\times[-2; 1] oraz B\colon =[0; 2]\times [0; 2]. Odpowiednie odległości wynoszą:

\delta(A,B)= \sqrt8
\delta(B,A)= \sqrt2
h(A,B)= \sqrt8

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Metryka Hausdorffa może być definowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni X. W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni H(X) będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni X, ale też od użytej w X metryki d.
Z kolei, dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Barnsley 1988 ↓, s. 29-42.
  2. 2,0 2,1 Engelking 1975 ↓, s. 363-364.
  3. Kudrewicz 2007 ↓, s. 28-30.
  4. Edgar 2008 ↓, s. 71-73.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Michael Barnsley: Fractals Everywhere. San Diego: Academic Press, 1988. (ang.)
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: 1975.
  • Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. czwarte. Warszawa: WNT, 2007.
  • Gerald Edgar: Measure, topology and fractal geometry. Wyd. drugie. Springer, 2008, s. 71-73. (ang.)