Metryka Hausdorffa

Metryka Hausdorffa, zwana inaczej odstępem Hausdorffa – odległość pomiędzy zwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej zupełnej $X$.

Definicja

Niech $(X, d)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną zupełną, a $H(X)$ przestrzenią, której elementami są zwarte i niepuste podzbiory przestrzeni $X$. Niech $A$ i $B$ będą elementami przestrzeni $H(X)$, a $x,y$ elementami przestrzeni $X$, przy czym $x \in A, y \in B$. Wyrażenia:

$\delta(x,B)=\min \{ d(x,y)\colon y \in B \}$

$\delta(y,A)=\min \{ d(x,y)\colon x \in A \}$

oznaczają odpowiednio odstęp punktu $x$ od zbioru $B$ i odstęp punktu $y$ od zbioru $A$. Z kolei wyrażenia:

$\delta(A,B)=\max \{\delta(x,B)\colon x \in A \}$

$\delta(B,A)=\max \{\delta(y,A)\colon y \in B \}$

oznaczają odpowiednio odstęp zbioru $A$ od zbioru $B$ i odstęp zbioru $B$ od zbioru $A$.
Metryką Hausdorffa nazywamy funkcję $h\colon H(X) \times H(X) \to [0; \infty)$ określoną wzorem:

$h(A,B)=\max \{\delta(A,B), \delta(B,A) \}$

Uwagi

• Minima i maksima w powyższych zbiorach są osiągane ze względu na zwartość zbiorów $A$ i $B$.
• Gdy $A \subseteq B$, to $\delta(A, B) = 0$.
• Gdy $B \backslash A \neq \emptyset$, to $\delta(B, A) \neq 0$.
• Odstępy  $\delta(A,B)$  i  $\delta(B,A)$  mogą być różne. Jest tak na przykład, gdy A  jest podzbiorem właściwym zbioru B.
• Alternatywnie, metrykę Hausdorffa można zdefiniować w języku $\epsilon$-otoczeń. Dla danego zbioru $A$ i $\epsilon > 0$ oznaczamy $B(x,\epsilon)$ kulę o środku $x$ i promieniu $\epsilon$ oraz określamy

$A_\epsilon=\bigcup_{x\in A} B(x,\epsilon).$

Wówczas metrykę Hausdorffa możemy przedstawić w postaci wyrażenia:

$h(A,B) = \inf\, \{\epsilon \;\colon \; B\subset A_\epsilon$   oraz   $A\subset B_\epsilon\}.$

• Odwzorowanie $x \mapsto \{x\}$ jest zanurzeniem izometrycznym przestrzeni X  w przestrzeń H(X).

• Przestrzeń  $(H(X),\, h)$,  z wprowadzoną metryką Hausdorffa h,  jest przestrzenią metryczną zupełną. Topologia przestrzeni $(H(X), h)$ zależy od topologii przestrzeni $(X,\,d)$,  a nie od samej metryki d:  gdy metrykę d zastąpić przez topologicznie równoważną d' (obie w X), to nowa, indukowana metryka Hausdorffa w H(X) będzie topologicznie równoważna starej (będzie indukować tę samą topologię w H(X)).

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią zwartą to $H(X)$ też jest przestrzenią zwartą.

Przykład

W przestrzeni $(\mathbb{R}^2, d)$ z metryką euklidesową rozważmy dwa zbiory domknięte: $A\colon =[-2; 1]\times[-2; 1]$ oraz $B\colon =[0; 2]\times [0; 2]$. Odpowiednie odległości wynoszą:

$\delta(A,B)= \sqrt8$

$\delta(B,A)= \sqrt2$

$h(A,B)= \sqrt8$

Uogólnienia

Metryka Hausdorffa może być definowana w podobny sposób dla domkniętych i niekoniecznie zwartych podzbiorów przestrzeni $X$. W tym wypadku metryka może przyjmować wartości nieskończone, a topologia przestrzeni $H(X)$ będzie zależeć nie tylko od topologii przestrzeni $X$, ale też od użytej w $X$ metryki $d$.
Z kolei, dla zbiorów niekoniecznie domkniętych można podobnie zdefiniować funkcję odległości, jako odległość między domknięciami tych zbiorów. Funkcja będzie pseudometryką (nie będzie spełniać warunków metryki – odległość pomiędzy dwoma różnymi zbiorami mającymi to samo domknięcie będzie równa zero, wbrew pierwszemu warunkowi definicji metryki).