Model Markowitza

Model Markowitza (model średniej-wariancji)

Model Markowitza został zaproponowany przez Harry’ego M. Markowitza w 1952 roku w artykule Portfolio Selection. Sformułowanie problemu jest następujące: inwestor, konstruując swój portfel, chciałby jednocześnie zwiększać zysk i zmniejszać ryzyko z tym portfelem związane – w tym celu powinien jednak uwzględnić różnego rodzaju powiązania między spółkami, w które inwestuje. Markowitz w jednej ze swoich książek pisze:

Dobry portfel jest czymś więcej niż długą listą dobrych akcji i obligacji. Jest to wyważona całość, zapewniająca inwestorowi stosowną ochronę i możliwości w przypadku szerokiej rangi możliwych scenariuszy.

W swoim modelu Markowitz podaje propozycję rozwiązania problemu dywersyfikacji ryzyka inwestycyjnego: minimalizacja ryzyka (wyrażonego poprzez wariancję) przy ustalonym z góry poziomie zysku (wyrażonego przez wartość oczekiwaną), jaki chce osiągnąć inwestor. Model Markowitza jest także nazywany modelem średniej-wariancji, Mean-Variance Model (ang.).

Oznaczenia modelu

• $x=[x_{1},\dots ,x_{n}]^{T}{:}$ strategia inwestycyjna, albo inaczej portfel, $x_{i}$ dla $i\in \{1,\dots ,n\}$ to udział kapitału, jaki został przeznaczony na inwestycję w spółkę giełdową $i$
• $R=\sum _{i=1}^{n}x_{i}R_{i}{:}$ $n$-wymiarowa Zmienna losowa przyszłych zwrotów z akcji spółek giełdowych
• $\mu {:}$ wektor wartości średnich zmiennej $R,$ gdzie $\mu _{i}=\mathbb {E} (R_{i})$
• $E(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mu _{i}=x^{T}\mu {:}$ wartość oczekiwana zwrotu z portfela to $E=\mathbb {E} (R)$
• $\sigma _{ij}=\mathbb {E} [(R_{i}-\mu _{i})(R_{j}-\mu _{j})]$ to kowariancja $R_{i}$ oraz $R_{j}$ (dla $1\leqslant i\neq j\leqslant n$), gdzie $\sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j};$ przez $\rho _{ij}={\textrm {corr}}(R_{i},R_{j})$ oznaczamy współczynnik korelacji Pearsona, zaś $\sigma _{i}^{2}=Var(R_{i})$ oraz $\sigma _{j}^{2}=Var(R_{j})$
• $\sigma ^{2}(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}=x^{T}\Sigma x{:}$ wariancja zwrotu z portfela; w szczególności $\sigma _{ii}=\mathbb {E} (R_{i}-\mu _{i})^{2}=\sigma _{i}^{2}=Var(R_{i})$
• $\Sigma =\left[{\begin{array}{c}\sigma _{11}&\cdots &\sigma _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n1}&\cdots &\sigma _{nn}\end{array}}\right]{:}$ macierz kowariancji zmiennej $R;$ jest to macierz nieujemnie określona i symetryczna.

Założenia modelu

Zbiór $x=[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}$ spełniających założenia modelu dla $n=3$

• $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=1$ – udziały w portfelu sumują się do 1; inwestujemy 100% kapitału
• $x_{i}\geqslant 0$ dla $i\in \{1,\dots ,n\}$ – zakaz krótkiej sprzedaży

Rozwiązanie problemu

Przy podanych wcześniej założeniach modelu należy zminimalizować ryzyko $\sigma ^{2}=x^{T}\Sigma x$ przy ustalonym poziomie zysku $E.$

$\left\{{\begin{array}{l}x^{T}\Sigma x~\to min\\x^{T}\mu =E\\\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}=1\\x_{1},\dots ,x_{n}\geqslant 0\end{array}}\right..$

Tak postawiony problem rozwiązuje się, korzystając z metody Karusha-Kuhna-Tuckera.

Prosta krytyczna

W modelu Blacka, przy pominięciu zakazu krótkiej sprzedaży, oraz dodaniu założenia $\mu \not \parallel [1,\dots ,1]^{T}$ oraz założenia o dodatniej określoności macierzy $\Sigma ,$ otrzymuje się dokładnie jeden portfel $x,$ zależący od $E$ w sposób afiniczny. Oznacza to, że przy zmieniającym się $E$ zbiór rozwiązań $x$ tworzy prostą, nazywaną prostą krytyczną. Prosta ta może (ale nie musi) przecinać zbiór portfeli dopuszczalnych w sensie Markowitza (tj. spełniających założenia modelu Markowitza).

$x=\Sigma ^{-1}(\lambda _{1}\mu +\lambda _{2}[1,\dots ,1]^{T}),$ gdzie

• $\alpha =\mu ^{T}\Sigma ^{-1}\mu ,$
• $\beta =[1,\dots ,1]\Sigma ^{-1}\mu ,$
• $\gamma =[1,\dots ,1]\Sigma ^{-1}[1,\dots ,1]^{T},$
• $\lambda _{1}={\dfrac {\left|{\begin{array}{c}E&\beta \\1&\gamma \end{array}}\right|}{\alpha \gamma -\beta ^{2}}}$ oraz $\lambda _{2}={\dfrac {\left|{\begin{array}{c}\alpha &E\\\beta &1\end{array}}\right|}{\alpha \gamma -\beta ^{2}}}$

Granica minimalna, granica efektywna, portfel efektywny

Przekształcenie $x\to (\sigma ^{2}(x),E(x))$ przypisuje portfelowi jego ryzyko i zwrot. Z wszystkich portfeli o danym ryzyku $\sigma ^{2}$ dla inwestora najlepszy jest ten, który ma największe $E.$ Obrazy portfeli o tej własności to zbiór lewych końców przecięcia obrazu zbioru portfeli dopuszczalnych na płaszczyźnie $(\sigma ^{2},E)$ z prostymi $E=const.$ Zbiór ten określa się pojęciem granicy minimalnej. Podzbiór tego zbioru, składający się z punktów, dla których nie istnieje portfel dopuszczalny $x$ o nie mniejszej $E$ i mniejszym $\sigma ,$ ani portfel o większej $E$ i nie większym $\sigma ,$ nosi nazwę granicy efektywnej. Portfele odpowiadające punktom granicy efektywnej to portfele efektywne.

Uwaga

Minimalizacja wariancji $\sigma ^{2}$ jest równoważna minimalizacji odchylenia standardowego $\sigma .$ Z tego powodu rozwiązanie problemu nie zmienia się, niezależnie, czy rozpatruje się portfele i ich obrazy w przekształceniu $x\to (x^{T}\Sigma x,x^{T}\mu )=(\sigma ^{2}(x),E(x)),$ czy też w przekształceniu $x\to ({\sqrt {x^{T}\Sigma x}},x^{T}\mu )=(\sigma (x),E(x))$

Przykład 1

Przykład 1, rysunek 1

Przykład 1, rysunek 2

Niech $\Sigma =\left[{\begin{array}{c}9&3&1\\3&2&2\\1&2&4\end{array}}\right]$ oraz $\mu =[5,4,2]^{T}.$ Założenia: $x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant 0$ oraz $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1.$ Zmienną $x_{3}$ można zatem zastąpić przez $1-x_{1}-x_{2}.$ Zbiór portfeli dopuszczalnych został przedstawiony na rysunku (jest to niebieski symplex). Przekształcenie przypisujące portfelowi $x=[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}=[x_{1},x_{2},1-x_{1}-x_{2}]^{T}$ jego średnią i odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji) to $x\to ({\sqrt {x^{T}\Sigma x}},x^{T}\mu )=(4-6x_{1}+11x_{1}^{2}-4x_{2}+8x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2},2+3x_{1}+2x_{2})=(\sigma (x),E(x)).$ Prosta krytyczna w postaci parametrycznej to $\left({\frac {1}{7}}(2-E),{\frac {5}{7}}(E-2),{\frac {1}{7}}(15-4E)\right).$ Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkty wspólne prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie $(\sigma ,E)$ krzywe zaznaczone kolorem różowym i niebieskim oraz wszystkie wyróżnione punktu, tworzą granicę minimalną, przy czym krzywa zaznaczona na różowo, włącznie z punktami $({\sqrt {2}},4),$ $(3,5)$ tworzą granicę efektywną.

Przykład 2

Przykład 2, rysunek 1

Przykład 2, rysunek 2

Niech $\Sigma =\left[{\begin{array}{c}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]$ oraz $\mu =[4,3,1]^{T}.$ Założenia: $x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant 0$ oraz $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1.$ Zmienną $x_{3}$ można zatem zastąpić przez $1-x_{1}-x_{2}.$ Zbiór portfeli dopuszczalnych (tj. spełniających założenia modelu) został przedstawiony na rysunku (jest to niebieski symplex). Przekształcenie przypisujące portfelowi $x=[x_{1},x_{2},x_{3}]^{T}=[x_{1},x_{2},1-x_{1}-x_{2}]^{T}$ jego średnią i odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji) to $x\to ({\sqrt {x^{T}\Sigma x}},x^{T}\mu )=(4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+(-1+x_{1}+x_{2})^{2},1+3x_{1}+2x_{2})=(\sigma (x),E(x)).$ Prosta krytyczna w postaci parametrycznej to $\left({\frac {1}{13}}(2E-3),{\frac {1}{26}}(7E-4),{\frac {1}{26}}(36-11E)\right).$ Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkty wspólne prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie $\left(\sigma ,E\right)$ punkty $(1,1),$ $\left({\frac {\sqrt {10}}{4}},{\frac {3}{2}}\right)$ i fragment niebieskiej krzywej między nimi, czerwona krzywa, punkty $\left({\frac {10}{11}},{\frac {36}{11}}\right),$ $(2,4)$ i fragment różowej krzywej zawarty między nimi, tworzą granicę minimalną, zaś jej fragment zawarty między punktami $\left({\frac {2}{3}},{\frac {20}{9}}\right)$ tworzy granicę efektywną.

Przykład 3

Przykład 3, rysunek 1

Niech $\Sigma =\left[{\begin{array}{c}4&2&6\\2&1&3\\6&3&9\end{array}}\right]$ (tzn. $\sigma _{1}=2,$ $\sigma _{2}=1,$ $\sigma _{3}=3,$ zaś $\rho _{ij}=1$ dla $i\in \{1,\dots ,n\}$) oraz $\mu =[1,2,3]^{T}.$ Granica efektywna składa się z odcinków: różowego i niebieskiego, łącznie z końcami. Granica minimalna to odcinek różowy, z końcami włącznie.

Przykład 4

Przykład 4, rysunek 1

Niech $\Sigma =\left[{\begin{array}{c}1&-2&-1\\-2&4&2\\-1&2&1\end{array}}\right]$ (tzn. $\sigma _{1}=2,$ $\sigma _{2}=1,$ $\sigma _{3}=3,$ zaś $\rho _{12}=\rho _{21}=\rho _{13}=\rho _{31}=-1,$ $\rho _{23}=1$) oraz $\mu =[1,2,3]^{T}.$ Granica efektywna to łamana o wierzchołkach: $(1,1),$ $\left(0,{\frac {4}{3}}\right),$ $(0,2),$ $(1,3).$ Granica minimalna to odcinek o końcach $(0,2)$ i $(1,3).$