Macierz symetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz symetrycznamacierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa \scriptstyle \mathbf A = [a_{ij}] stopnia \scriptstyle n, która dla \scriptstyle i, j = 1, \dots, n spełnia warunek

a_{ij} = a_{ji},

który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako

\mathbf A^\mathrm T = \mathbf A.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Kombinacja liniowa macierzy symetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy symetrycznej są macierzami symetrycznymi; iloczyn macierzy symetrycznych na ogół nie jest symetryczny.
  • Dla dowolnej macierzy \scriptstyle \mathbf A macierz \scriptstyle \mathbf{AA}^\mathrm T jest symetryczna (takie mnożenie jest zawsze wykonalne); ponadto \scriptstyle \mathbf{AA}^\mathrm T = \left(\mathbf{AA}^\mathrm T\right)^\mathrm T, a więc macierz ta również jest symetryczna.
  • Dla macierzy kwadratowej \scriptstyle \mathbf A macierz \scriptstyle \mathbf A + \mathbf A^\mathrm T jest symetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia \scriptstyle n rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli \scriptstyle \mathbf A jest dowolną macierzą kwadratową stopnia \scriptstyle n, to
    \mathbf A = \tfrac{1}{2}\left(\mathbf A + \mathbf A^\mathrm T\right) + \tfrac{1}{2}\left(\mathbf A - \mathbf A^\mathrm T\right),
przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Poniższe macierze są symetryczne:

\begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Topp J.: Algebra liniowa. Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2005, strona 73, ISBN 83-7348-135-4

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]