Macierz symetryczna

Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa $\mathbf {A} =[a_{ij}]$ stopnia $n,$ która dla $i,j=1,\dots ,n$ spełnia warunek

$a_{ij}=a_{ji},$

który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} .$

Własności

• Kombinacja liniowa macierzy symetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy symetrycznej są macierzami symetrycznymi; iloczyn macierzy symetrycznych na ogół nie jest symetryczny.
• Dla dowolnej macierzy $\mathbf {A}$ macierz $\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }$ jest symetryczna, bowiem $\left(\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {(A^{T})^{T}} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }.$
• Dla macierzy $\mathbf {A}$ macierz $\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$ jest symetryczna, bowiem $\left(\mathbf {A+A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {(A^{T})^{\mathrm {T} }} =\mathbf {A+A} ^{\mathrm {T} }.$
• Przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n$ rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli $\mathbf {A}$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia $n,$ to

  $\mathbf {A} ={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right),$

przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.

• Wszystkie wartości własne symetrycznej macierzy rzeczywistej są rzeczywiste.

Przykłady

Poniższe macierze są symetryczne:

${\begin{bmatrix}7&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.$

Zobacz też

• forma dwuliniowa
• macierz antysymetryczna
• macierz hermitowska

Bibliografia

• JerzyJ. Topp JerzyJ., Algebra liniowa, Gdańsk: Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, 2005, s. 73, ISBN 83-7348-135-4, OCLC 749843604 .