Obwiednia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: obwiednia sygnału (ogólnie), obwiednia dźwięku (syntezatory).

Obwiednia - (ang. envelope) to matematyczne pojęcie z zakresu geometrii różniczkowej. Obwiednia rodziny rozmaitości różniczkowych (w szczególności rodziny krzywych lub powierzchni) jest rozmaitością w każdym swoim punkcie styczną do pewnego członka tej rodziny. W otoczeniu dowolnego punktu należącego do obwiedni znajdują się zatem zarówno punkty należące do członków tej rodziny, jak i punkty nie należące do żadnego z członków.

Obwiednia powierzchni parametrycznej[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Obwiednia rodziny prostych

Niech dane będzie odwzorowanie p opisujące (n-1)-wymiarową powierzchnię zanurzoną w n-wymiarowej przestrzeni w czasie t:

\mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R} \supset U \ni (\mathbf{u},t) \mapsto \mathbf{p}(\mathbf{u},t) \in \mathbb{R}^{n}

Obwiednią E powierzchni p względem parametru t jest zbiór punktów spełniających warunek:

\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}(\mathbf{u},t) \in T_{\mathbf{p}(\mathbf{u},t)}

gdzie T_{\mathbf{p}(\mathbf{u},t)} jest liniową podprzestrzenią styczną do powierzchni p w punkcie p(u,t=const). Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u^i} (dla i = 0, ..., n-1). Opisany warunek można zapisać:


\det \left[ 
\begin{array}{cccc}
\frac{\partial p^0}{\partial t} & \frac{\partial p^0}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^0}{\partial u^{n-1}} \\
\frac{\partial p^1}{\partial t} & \frac{\partial p^1}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^1}{\partial u^{n-1}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial p^n}{\partial t} & \frac{\partial p^n}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^n}{\partial u^{n-1}} 
\end{array} \right] = 0

Powierzchnia trójwymiarowa[edytuj | edytuj kod]

Dla przypadku trójwymiarowego (n=3) równanie obwiedni powierzchni \mathbf{p}(u,v,t) \in \mathbb{R}^3 ma postać:


\det \left[ 
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}(u,v,t) & 
\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u}(u,v,t) & 
\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}(u,v,t) 
\end{array} \right] = 0

Powyższe równanie może być zapisane z użyciem iloczynu skalarnego wektora \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t} oraz wektora normalnego n do powierzchni p w punkcie (u,v):

\langle \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}, \mathbf{n}(u,v) \rangle = 0

gdzie n(u,v) jest iloczynem wektorowym pochodnych cząstkowych odwzorowania p:

\mathbf{n}(u,v) = \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Obwiednią poruszającego się wzdłuż osi OX jednostkowego okręgu w dwuwymiarowej przestrzeni OXY są dwie proste y=-1 oraz y=1

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY jest sparametryzowany kątem \alpha:

\mathbf{p}(\alpha,t) = (\cos{\alpha} + t, \sin{\alpha})

pochodne cząstkowe względem \alpha i t wynoszą:

\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial \alpha} = (-\sin{\alpha}, \cos{\alpha})
\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t} = (1, 0)

Równanie obwiedni ma zatem postać:


\det \left[ 
\begin{array}{cc}
-\sin{\alpha} & 1 \\
\cos{\alpha} & 0
\end{array} \right] = 0
\Leftrightarrow
\cos{\alpha} = 0
\Leftrightarrow
\alpha = \frac{\pi}{2} + n \pi

zaś samą obwiednię stanowią dwie proste y = 1 oraz y = -1 na płaszczyźnie OXY.

Obwiednia powierzchni implicite[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie powierzchnia w przestrzeni n-wymiarowej opisana równaniem:

F(\mathbf{p},t) = 0

gdzie \mathbf{p} \in \mathbb{R}^n, t \in \mathbb{R} oraz F:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}. Obwiednią E powierzchni opisanej przy pomocy F są punkty (\mathbf{p},t), dla których spełnione są:


\frac{\partial F}{\partial t}(\mathbf{p},t) = 0 \wedge F(\mathbf{p},t) = 0

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY opisany jest za pomocą:

\displaystyle F(x,y,t) = (x-t)^2 + y^2 - 1 = 0

Pochodna cząstkowa F względem t wynosi:

\frac{\partial F}{\partial t} = -2(x - t)

Równanie obwiedni ma zatem postać:


\displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
F(x,y,t) = (x-t)^2 + y^2 - 1 = 0 \\
\frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t) = -2(x - t) = 0
\end{array} \right.

z czego wynika, iż samą obwiednię stanowią dwie proste (x = t, y = \pm 1).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Flaquer J., Garate G., Pargada M.: Envelopes of moving quadric surfaces, CAGD 9 1992.
  2. Eisenhart L.P.: A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover, 2004.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]