Obwiednia

Obwiednia (ang. envelope) – matematyczne pojęcie z zakresu geometrii różniczkowej. Obwiednia rodziny rozmaitości różniczkowych (w szczególności rodziny krzywych lub powierzchni) jest rozmaitością w każdym swoim punkcie styczną do pewnego członka tej rodziny. W otoczeniu dowolnego punktu należącego do obwiedni znajdują się zatem zarówno punkty należące do członków tej rodziny, jak i punkty nienależące do żadnego z członków.

Obwiednia powierzchni parametrycznej

Definicja

Obwiednia rodziny prostych

Niech dane będzie odwzorowanie p opisujące $(n-1)$-wymiarową powierzchnię zanurzoną w $n$-wymiarowej przestrzeni w czasie $t{:}$

$\mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} \supset U\ni (\mathbf {u} ,t)\mapsto \mathbf {p} (\mathbf {u} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}$

Obwiednią E powierzchni p względem parametru $t$ jest zbiór punktów spełniających warunek:

${\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial t}}(\mathbf {u} ,t)\in T_{\mathbf {p} (\mathbf {u} ,t)}$

gdzie $T_{\mathbf {p} (\mathbf {u} ,t)}$ jest liniową podprzestrzenią styczną do powierzchni $\mathbf {p}$ w punkcie $\mathbf {p} (\mathbf {u} ,t=\mathrm {const} ).$ Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach ${\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial u^{i}}}$ (dla $i=0,\dots ,n-1$). Opisany warunek można zapisać:

$\det \left[{\begin{array}{c}{\frac {\partial p^{0}}{\partial t}}&{\frac {\partial p^{0}}{\partial u^{0}}}&\cdots &{\frac {\partial p^{0}}{\partial u^{n-1}}}\\{\frac {\partial p^{1}}{\partial t}}&{\frac {\partial p^{1}}{\partial u^{0}}}&\cdots &{\frac {\partial p^{1}}{\partial u^{n-1}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial p^{n}}{\partial t}}&{\frac {\partial p^{n}}{\partial u^{0}}}&\cdots &{\frac {\partial p^{n}}{\partial u^{n-1}}}\end{array}}\right]=0$

Powierzchnia trójwymiarowa

Dla przypadku trójwymiarowego (n=3) równanie obwiedni powierzchni $\mathbf {p} (u,v,t)\in \mathbb {R} ^{3}$ ma postać:

$\det \left[{\begin{array}{c}{\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial t}}(u,v,t)&{\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial u}}(u,v,t)&{\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial v}}(u,v,t)\end{array}}\right]=0$

Powyższe równanie może być zapisane z użyciem iloczynu skalarnego wektora ${\tfrac {\partial \mathbf {p} }{\partial t}}$ oraz wektora normalnego $n$ do powierzchni p w punkcie $(u,v){:}$

$\left\langle {\tfrac {\partial \mathbf {p} }{\partial t}},\mathbf {n} (u,v)\right\rangle =0$

gdzie $n(u,v)$ jest iloczynem wektorowym pochodnych cząstkowych odwzorowania p:

$\mathbf {n} (u,v)={\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial v}}$

Przykład

Obwiednią poruszającego się wzdłuż osi OX jednostkowego okręgu w dwuwymiarowej przestrzeni OXY są dwie proste $y=-1$ oraz $y=1$

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY jest sparametryzowany kątem $\alpha {:}$

$\mathbf {p} (\alpha ,t)=(\cos \alpha +t,\sin \alpha )$

pochodne cząstkowe względem $\alpha$ i $t$ wynoszą:

${\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial \alpha }}=(-\sin \alpha ,\cos \alpha )$

${\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial t}}=(1,0)$

Równanie obwiedni ma zatem postać:

$\det \left[{\begin{array}{c}-\sin \alpha &1\\\cos \alpha &0\end{array}}\right]=0\Leftrightarrow \cos \alpha =0\Leftrightarrow \alpha ={\frac {\pi }{2}}+n\pi$

zaś samą obwiednię stanowią dwie proste $y=1$ oraz $y=-1$ na płaszczyźnie OXY.

Obwiednia powierzchni implicite

Definicja

Niech dana będzie powierzchnia w przestrzeni $n$-wymiarowej opisana równaniem:

$F(\mathbf {p} ,t)=0$

gdzie $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n},$ $t\in \mathbb {R}$ oraz $F:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} .$ Obwiednią E powierzchni opisanej przy pomocy $F$ są punkty $(\mathbf {p} ,t),$ dla których spełnione są:

${\frac {\partial F}{\partial t}}(\mathbf {p} ,t)=0\wedge F(\mathbf {p} ,t)=0$

Przykład

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY opisany jest za pomocą:

$F(x,y,t)=(x-t)^{2}+y^{2}-1=0$

Pochodna cząstkowa $F$ względem $t$ wynosi:

${\frac {\partial F}{\partial t}}=-2(x-t)$

Równanie obwiedni ma zatem postać:

$\left\{{\begin{array}{l}F(x,y,t)=(x-t)^{2}+y^{2}-1=0\\{\frac {\partial F}{\partial t}}(x,y,t)=-2(x-t)=0\end{array}}\right.$

z czego wynika, iż samą obwiednię stanowią dwie proste $(x=t,y=\pm 1).$

Zobacz też

• geometria różniczkowa
• krzywa
• powierzchnia

Bibliografia

• Flaquer J., Garate G., Pargada M.: Envelopes of moving quadric surfaces, CAGD 9, 1992.
• Eisenhart L.P.: A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover 2004.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Envelope, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).