Obwiednia

Obwiednia - (ang. envelope) to matematyczne pojęcie z zakresu geometrii różniczkowej. Obwiednia rodziny rozmaitości różniczkowych (w szczególności rodziny krzywych lub powierzchni) jest rozmaitością w każdym swoim punkcie styczną do pewnego członka tej rodziny. W otoczeniu dowolnego punktu należącego do obwiedni znajdują się zatem zarówno punkty należące do członków tej rodziny, jak i punkty nie należące do żadnego z członków.

Obwiednia powierzchni parametrycznej

Definicja

Obwiednia rodziny prostych

Niech dane będzie odwzorowanie p opisujące (n-1)-wymiarową powierzchnię zanurzoną w n-wymiarowej przestrzeni w czasie $t$:

$\mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R} \supset U \ni (\mathbf{u},t) \mapsto \mathbf{p}(\mathbf{u},t) \in \mathbb{R}^{n}$

Obwiednią E powierzchni p względem parametru t jest zbiór punktów spełniających warunek:

$\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}(\mathbf{u},t) \in T_{\mathbf{p}(\mathbf{u},t)}$

gdzie $T_{\mathbf{p}(\mathbf{u},t)}$ jest liniową podprzestrzenią styczną do powierzchni p w punkcie p(u,t=const). Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach $\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u^i}$ (dla i = 0, ..., n-1). Opisany warunek można zapisać:

$\det \left[ \begin{array}{cccc} \frac{\partial p^0}{\partial t} & \frac{\partial p^0}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^0}{\partial u^{n-1}} \\ \frac{\partial p^1}{\partial t} & \frac{\partial p^1}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^1}{\partial u^{n-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial p^n}{\partial t} & \frac{\partial p^n}{\partial u^0} & \cdots & \frac{\partial p^n}{\partial u^{n-1}} \end{array} \right] = 0$

Powierzchnia trójwymiarowa

Dla przypadku trójwymiarowego (n=3) równanie obwiedni powierzchni $\mathbf{p}(u,v,t) \in \mathbb{R}^3$ ma postać:

$\det \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}(u,v,t) & \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u}(u,v,t) & \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}(u,v,t) \end{array} \right] = 0$

Powyższe równanie może być zapisane z użyciem iloczynu skalarnego wektora $\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}$ oraz wektora normalnego $n$ do powierzchni p w punkcie $(u,v)$:

$\langle \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t}, \mathbf{n}(u,v) \rangle = 0$

gdzie $n(u,v)$ jest iloczynem wektorowym pochodnych cząstkowych odwzorowania p:

$\mathbf{n}(u,v) = \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}$

Przykład

Obwiednią poruszającego się wzdłuż osi OX jednostkowego okręgu w dwuwymiarowej przestrzeni OXY są dwie proste $y=-1$ oraz $y=1$

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY jest sparametryzowany kątem $\alpha$:

$\mathbf{p}(\alpha,t) = (\cos{\alpha} + t, \sin{\alpha})$

pochodne cząstkowe względem $\alpha$ i $t$ wynoszą:

$\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial \alpha} = (-\sin{\alpha}, \cos{\alpha})$

$\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial t} = (1, 0)$

Równanie obwiedni ma zatem postać:

$\det \left[ \begin{array}{cc} -\sin{\alpha} & 1 \\ \cos{\alpha} & 0 \end{array} \right] = 0 \Leftrightarrow \cos{\alpha} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} + n \pi$

zaś samą obwiednię stanowią dwie proste $y = 1$ oraz $y = -1$ na płaszczyźnie OXY.

Obwiednia powierzchni implicite

Definicja

Niech dana będzie powierzchnia w przestrzeni n-wymiarowej opisana równaniem:

$F(\mathbf{p},t) = 0$

gdzie $\mathbf{p} \in \mathbb{R}^n$, $t \in \mathbb{R}$ oraz $F:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$. Obwiednią E powierzchni opisanej przy pomocy $F$ są punkty $(\mathbf{p},t)$, dla których spełnione są:

$\frac{\partial F}{\partial t}(\mathbf{p},t) = 0 \wedge F(\mathbf{p},t) = 0$

Przykład

Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY opisany jest za pomocą:

$\displaystyle F(x,y,t) = (x-t)^2 + y^2 - 1 = 0$

Pochodna cząstkowa $F$ względem $t$ wynosi:

$\frac{\partial F}{\partial t} = -2(x - t)$

Równanie obwiedni ma zatem postać:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} F(x,y,t) = (x-t)^2 + y^2 - 1 = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t) = -2(x - t) = 0 \end{array} \right.$

z czego wynika, iż samą obwiednię stanowią dwie proste $(x = t, y = \pm 1)$.

Zobacz też

• geometria różniczkowa
• powierzchnia
• krzywa

Bibliografia

1. Flaquer J., Garate G., Pargada M.: Envelopes of moving quadric surfaces, CAGD 9 1992.
2. Eisenhart L.P.: A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover, 2004.

Linki zewnętrzne

• Obwiednia (ang.) w encyklopedii MathWorld