Ruch jednostajny prostoliniowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Wykresy kolejno: drogi, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym przy założeniu, że położenie w chwili początkowej opisuje liczba 0.

Ruch jednostajny prostoliniowyruch jednostajny po torze prostoliniowym, czyli ruch odbywający się wzdłuż prostej ze stałą prędkością. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona ciało porusza się po torze prostoliniowym (lub pozostaje w spoczynku), jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą.

W ruchu jednostajnym prostoliniowym wektor prędkości jest stały, co oznacza, że jego kierunek (i zwrot) nie zależą od czasu; w związku z tym szybkość, czyli wartość bezwzględna prędkości, również jest stała. Oznacza to, że przyspieszenie jest równe zeru, a prędkość średnia równa jest prędkości chwilowej. Ponadto wartość bezwzględna przemieszczenia (zmiany położenia) jest równa drodze pokonanej przez ciało.

Opis[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ prędkość w ruchu jednostajnym nie zależy od czasu, tzn. zmiana położenia w równych odstępach czasu jest stała,

\mathbf v_t = \mathbf v = \mathrm{const},

czyli droga zależy wprost proporcjonalnie od czasu:

\Delta \mathrm x_t = \mathrm x_{t_2} - \mathrm x_{t_1} = \mathbf v(t_2 - t_1) = \mathbf v \Delta t,

gdzie \Delta t = t_2 - t_1 > 0 jest odcinkiem czasu, w którym ciało przemieściło się o \Delta \mathrm x_t = \mathrm x_{t_2} - \mathrm x_{t_1}, czyli pokonało drogę

\Delta s_t = s_{t_2} - s_{t_1} = |\mathrm x_{t_2} - \mathrm x_{t_1}| = |\Delta \mathrm x_t| = |\mathbf v|\Delta t = v(t_2 - t_1),

gdzie v = |\mathbf v| to szybkość. Oznacza to, że po czasie t_2 ciało znajduje się w położeniu

\mathrm x_{t_2} = \mathbf v(t_2 - t_1) + \mathrm x_{t_1}.

Podstawiając t = t_2 oraz t_1 = 0 równanie ruchu przyjmuje postać

\mathrm x_t = \mathbf vt + \mathrm x_0,

a przebyta droga wyraża się wzorem

s_t = |\mathrm x_t| = vt + s_0,

gdzie t jest parametrem czasowym, \mathrm x_0 oznacza początkowe położenie ciała, s_0 oznacza drogę pokonaną przez ciało do tej pory (zwykle przyjmuje się, że jest ona równa zeru), zaś \mathbf v oraz v to stałe odpowiednio prędkość i szybkość.

Jeżeli ruch opisany jest za pomocą położenia \mathrm x względem czasu t za pomocą funkcja (całkowalnej) \mathrm x_t, to droga jest równa długości krzywej przez nią wyznaczanej. Ponieważ prędkość jest pochodną drogi względem czasu,

\mathbf v_t = \frac{\operatorname d\mathrm x_t}{\operatorname dt},

to przy oznaczeniach jw. przemieszczenie można wówczas wyrazić całką oznaczoną

\Delta \mathrm x_t = \mathrm x_{t_2} - \mathrm x_{t_1} = \int\limits_{t_1}^{t_2} \operatorname d\mathrm x_t = \int\limits_{t_1}^{t_2} \mathbf v \operatorname dt = \mathbf v(t_2 - t_1)

przy czym prędkość jako stałą \mathbf v względem czasu można wyłączyć ją przed całkę. Dla t = t_2 oraz t_1 = 0 jest

\mathrm x_t = \mathbf v t + \mathrm x_0.

Droga to długość krzywej, tzn.

\Delta s_t = s_{t_2} - s_{t_1} = \int\limits_{t_1}^{t_2} |\operatorname d\mathrm x_t| = \int\limits_{t_1}^{t_2} |\mathbf v| \operatorname dt = v(t_2 - t_1),

czyli dla t = t_2 oraz t_1 = 0 jest

s_t = vt + s_0.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]