Pochodna cząstkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Pochodne cząstkowe funkcji f względem zmiennej x oznacza się symbolami

\frac{\partial f}{\partial x},\; f^\prime_x,\; f_x \text{ lub } \partial_x f.

Symbol pochodnej cząstkowej to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Notacja ta wynaleziona przez Adriena-Marie Legendre’a zyskała akceptację ogółu po jej wprowadzeniu na nowo przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego[1]

Tradycyjnie mówi się, że notacja \tfrac{\partial f}{\partial x} pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś f^\prime_x to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange’a.

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2
Wartość z w zależności od x, dla y=1 (z = f(x) = x^2 + x + 1)

Niech f będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo

z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2.

Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny xz czy yz.

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w (1, 1, 3), która jest równoległa do płaszczyzny xz należy traktować zmienną y jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie y = 1. Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że y jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji f w punkcie (x, y, z), którym jest

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y.

W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie (1, 1, 3) wynosi 3. Dlatego

\frac{\partial z}{\partial x} = 3

w punkcie (1, 1, 3). Innymi słowy pochodna cząstkowa z względem x w punkcie (1, 1, 3) jest równa 3.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej \mathbb R^n i dane będą punkt \mathrm a = (a_1, \dots, a_n) oraz funkcja f\colon U \to \mathbb R.

Jeżeli istnieje skończona granica

\lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n)}{h},

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji f w punkcie \mathrm a względem zmiennej a_k i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek ze „zwykłą” pochodną[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli oznaczyć g(a_k) = f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n), to

f^\prime_x(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a_k) - g(a_k + h)}{h}

jest po prostu pochodną g^\prime(a_k) funkcji g.

Na przykład dla funkcji

f(x,y) = x^3 + 3xy - y^2\;

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f^\prime_{x}(x,y)=3x^2+3y
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f^\prime_{y}(x,y)=3x-2y

Pochodne wyższych rzędów[edytuj | edytuj kod]

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=f^{\prime\prime}_{xx}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}(3x^2+3y) = 6x
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=f^{\prime\prime}_{yy}(x,y)= \frac{\partial}{\partial y}(3x-2y) = -2

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = f^{\prime\prime}_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2+3y) = 3
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = f^{\prime\prime}_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x-2y) = 3

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ile-krotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

\frac{\partial^2 f}{\partial x{}\partial y}{(x,y)}

jest pochodną rzędu 2.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Calculus (ang.). W: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols [on-line]. 2009-06-14. [dostęp 2010-02-20].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: PWN, 1953, s. 10.