Pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Pochodne cząstkowe funkcji $f$ względem zmiennej $x$ oznacza się symbolami

$\frac{\partial f}{\partial x},\; f^\prime_x,\; f_x \text{ lub } \partial_x f.$

Symbol pochodnej cząstkowej ∂ to zaokrąglona wersja litery alfabetu greckiego delta. Notacja ta wynaleziona przez Adriena-Marie Legendre’a zyskała akceptację ogółu po jej wprowadzeniu na nowo przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego

Tradycyjnie mówi się, że notacja $\tfrac{\partial f}{\partial x}$ pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś $f^\prime_x$ to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange’a.

Wprowadzenie

Rysunek 1.

Rysunek 2.

Niech $f$ będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo

$z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2.$

Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny $xz$ czy $yz.$

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w $(1, 1, 3),$ która jest równoległa do płaszczyzny $xz$ należy traktować zmienną $y$ jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie $y = 1.$ Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że $y$ jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji $f$ w punkcie $(x, y, z),$ którym jest

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y.$

W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie $(1, 1, 3)$ wynosi $3.$ Dlatego

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3$

w punkcie $(1, 1, 3).$ Innymi słowy pochodna cząstkowa $z$ względem $x$ w punkcie $(1, 1, 3)$ jest równa $3.$

Definicja

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n$ i dane będą punkt $\mathrm a = (a_1, \dots, a_n)$ oraz funkcja $f\colon U \to \mathbb R.$

Jeżeli istnieje skończona granica

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n)}{h},$

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji $f$ w punkcie $\mathrm a$ względem zmiennej $a_k$ i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek ze „zwykłą” pochodną

Jeżeli oznaczyć $g(a_k) = f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n),$ to

$f^\prime_x(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n) = \lim_{h \to 0} \frac{g(a_k) - g(a_k + h)}{h}$

jest po prostu pochodną $g^\prime(a_k)$ funkcji $g.$

Na przykład dla funkcji

$f(x,y) = x^3 + 3xy - y^2\;$

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f^\prime_{x}(x,y)=3x^2+3y$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f^\prime_{y}(x,y)=3x-2y$

Pochodne wyższych rzędów

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=f^{\prime\prime}_{xx}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}(3x^2+3y) = 6x$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=f^{\prime\prime}_{yy}(x,y)= \frac{\partial}{\partial y}(3x-2y) = -2$

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = f^{\prime\prime}_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2+3y) = 3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = f^{\prime\prime}_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x-2y) = 3$

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ile-krotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

$\frac{\partial^2 f}{\partial x{}\partial y}{(x,y)}$

jest pochodną rzędu $2$.

Zobacz też

• gradient
• macierz Jacobiego
• operator Laplace’a
• operator d’Alemberta
• pochodna kierunkowa
• dywergencja, rotacja
• pochodna zewnętrzna

Bibliografia

• Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: PWN, 1953, s. 10.