Operator położenia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W mechanice kwantowej położenie jest opisywane przez obserwablę - operator położenia. Przejście od położenia do operatora położenia jest nazywane pierwszym kwantowaniem.

Notacja Diraca[edytuj | edytuj kod]

W notacji Diraca wektor własny operatora położenia \mathbf{x} z wartością własną x oznacza się |x\rangle , czyli

\mathbf{x}|x\rangle=x|x\rangle.

Stąd działanie operatora położenia na dowolny stan możemy zapisać jako

\mathbf{x}|\psi\rangle=\int\limits^\infty_{-\infty}dx'\mathbf{x}|x'\rangle\langle x'|\psi\rangle =\int\limits^\infty_{-\infty}dx' x' \psi(x')|x'\rangle ,

gdzie \psi(x')=\langle x'|\psi\rangle jest funkcją falową stanu |\psi\rangle w reprezentacji położeniowej.

Reprezentacja położeniowa i pędowa[edytuj | edytuj kod]

Z powyższego wzoru otrzymujemy, że działanie operatora składowej i położenia \hat{x}_{i} w reprezentacji położeniowej odpowiada po prostu mnożeniu funkcji falowej przez x_{i}. Natomiast w reprezentacji pędowej operator składowej i położenia ma postać

\hat{x}_{i} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial {p_{i}}}

Wektorowy operator położenia ma postać:

\bar{x} = -i\hbar\overline{\nabla}_{p}

gdzie \overline{\nabla} nazywany jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu[edytuj | edytuj kod]

Ważną cechą kwantowego operatora położenia jest to, że nie komutuje on z operatorem pędu. Operatory te spełniają relację komutacyjną

[ x_{i}, p_{j} ]= i\hbar \delta_{ij}.

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności.