Operator Hamiltona

Operator Hamiltona (hamiltonian, operator energii) – w mechanice kwantowej odpowiednik funkcji Hamiltona zwanej hamiltonianem. Jest to operator działający nad przestrzenią funkcji falowych stanów układu fizycznego (lub nad przestrzenią Hilberta wektorów stanu). Wartością własną operatora Hamiltona jest energia cząstki opisywanej daną funkcją własną, natomiast wartością średnią operatora Hamiltona jest energia cząstki w danym stanie kwantowym.

Dla cząstki opisywanej przez N współrzędnych ogólna postać operatora Hamiltona ma postać:

$\hat{H} = \sum ^{N}_{i=1} \frac{\hat{p}_{i}^{2}}{2m} + V(x_{1}, \ldots, x_{n}) = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{x})$

Gdzie:

m - masa cząstki

$\hat{p}$ - operator pędu

$V(x_{1}, \ldots, x_{n})$ - potencjał pola, w którym cząstka się znajduje

$\Delta$ - operator Laplace'a

Równanie na wartości własne operatora Hamiltona nazywa się równaniem Schrödingera bez czasu.

Przejście od klasycznego hamiltonianu do kwantowego odpowiednika nazywa się pierwszym kwantowaniem.

Jeżeli założymy, że hamiltonian $\mathcal{H}$ nie zależy od czasu, to rozwiązaniem równania

$i \hbar \frac{d}{dt} \vert \alpha_{s}(t) \rangle = \mathcal{H} \vert \alpha_{s}(t) \rangle$ (równoważnie $-i\hbar \frac{d}{dt} \langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t) \vert \mathcal{H}$, ponieważ $\mathcal{H}^{\dagger} = \mathcal{H}$)

są

$\vert\alpha_{s}(t)\rangle = U(t)\vert\alpha_{s}(t_{0})\rangle$ (równoważnie $\langle \alpha_{s}(t) \vert = \langle \alpha_{s}(t_{0}) \vert U^{\dagger}(t)$),

gdzie

$U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal{H} \cdot (t-t_{0})}$ jest operatorem ewolucji w czasie,

a $\vert \alpha_{s}(t) \rangle$ jest wektorem stanu w obrazie Schrödingera.

Przykład

Hamiltonian dla elektronu w atomie wodoru ma postać:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \left[ \frac{\partial ^{2}}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^{2}} \frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}} \right] - \frac{1}{4\pi \epsilon _{0} } \frac{e^{2}}{r}$

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest operatorem Laplace'a w sferycznym układzie współrzędnych, natomiast potencjał jest potencjałem kulombowskim.