Notacja Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Stan kwantowy  · Funkcja falowa  · Superpozycja  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie
Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – sposób zapisu wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca[1] do mechaniki kwantowej, służący do zapisywania stanów kwantowych. Stan układu, będący wektorem z przestrzeni Hilberta, zapisuje się za pomocą znaku pionowej kreski | i nawiasu trójkątnego >, na przykład |\psi\rangle. Oznaczenie to nazywa się ket. Natomiast stan sprzężony hermitowsko do niego oznacza się przez \langle\phi|, czyli bra.

Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu \langle\phi|\psi\rangle. Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym [\phi|\psi] prawie 100 lat wcześniej.

Przestrzeń wektorowa[edytuj | edytuj kod]

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Przestrzeń wektorowa.

Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor \vec{A} w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowskiej na ciele liczb rzeczywistych, co zapiszemy: \vec{A}\in\mathbb{R}^3\,\!.

Wektor \vec{A} może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:

 \begin{align}
\vec{A} & = A_1 \vec{e}_1 + A_2 \vec{e}_2 + A_3 \vec{e}_3 \\ 
& = A_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +
A_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +
A_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix} A_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 0 \\ A_2 \\ 0 \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ A_3 \end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
A_3 \\
\end{pmatrix} 
\end{align}

gdzie, \vec{e}_1, \vec{e}_1, \vec{e}_3 to wektory jednostkowe, a A_1, A_2, A_3 odpowiadające im współrzędne.

W ogólności kiedy wektor \vec{A} znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem \mathbb{F}, gdzie \mathbb{F} to \mathbb R lub \mathbb C, co można zapisać jako: \vec{A}\in\mathbb{F}^N\,\!, wektor \vec{A} jest nadal kombinacja liniową wektorów bazowych:

\vec{A} = \sum_{n=1}^N A_n \bold{e}_n = \begin{pmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
\vdots \\
A_N \\
\end{pmatrix}

Jednak \vec{A} może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń L_{2}.

Notacja ket[edytuj | edytuj kod]

Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: | A\rangle . Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako

 |A \rangle = A_1|e_1 \rangle + A_2|e_2 \rangle + A_3|e_3 \rangle =\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix},

Co można zapisać w skrócie

|A \rangle = A_1|1 \rangle + A_2|2 \rangle + A_3|3 \rangle

gdzie |1 \rangle, |2 \rangle, |3 \rangle oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe \vec{e}_1, \vec{e}_1, \vec{e}_3.

Iloczyn skalarny i notacja ket[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: iloczyn skalarny.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego

 \langle A | B \rangle = \text{iloczyn skalarny bra } \langle A | \text{ z ket } | B \rangle

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej

\langle A | B \rangle = A_1^*B_1 + A_2^*B_2 + A_3^*B_3

gdzie A_i^* oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy \vec{A}=\vec{B}, iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora

\langle A | A \rangle = |A_1|^2 + |A_2|^2 + |A_3|^2

W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, "bra" i "ket"

 \langle A | B \rangle = \left( \, \langle A | \, \right) \,\, \left( \, | B \rangle \, \right)

gdzie \langle A | nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a |B \rangle to ket.

Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.

Bra i kety jako macierze[edytuj | edytuj kod]

Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci

 \langle A | B \rangle = A_1^* B_1 + A_2^* B_2 + \cdots + A_N^* B_N =\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}

Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:

 \langle A | = \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}

Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice-versa:

\langle A |^\dagger = |A \rangle, \quad |A \rangle^\dagger = \langle A |

ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:

\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix},

otrzyma się:

\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_N \end{pmatrix}

Bra jako operator liniowy na ket[edytuj | edytuj kod]

Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbe zespoloną.

Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji wg twierdzenia Riesza.

Zastosowanie w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:

  • Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być "Elektron znajduje się w stanie|\psi\rangle".(Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c|\psi\rangle odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c)
  • Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu  |1\rangle + i |2 \rangle jest superpozycją stanów |1\rangle i |2\rangle.

Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:

Oznaczenia w notacji Diraca[edytuj | edytuj kod]

  • wektory bazowe oznacza się: |n\rangle , gdzie n=0,1,2, ...
  • wektory bazowe sprzężone hermitowsko: (|n\rangle)^+ = \langle n| oraz (\langle n|)^+ = |n\rangle ,
  • iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej \hat S^+ = (|0\rangle, |1\rangle)^+ i wektorów z bazy \hat S = ( |0\rangle , |1\rangle ) :
\langle 0|0\rangle = \langle 1|1\rangle = 1 ,
\langle 0|1\rangle = \langle 1|0\rangle = 0 ,
  • iloczyn tensorowy wektorów bazowych:
|m\rangle |n\rangle = |mn\rangle ,
|m\rangle \langle n| ,
|m\rangle \wedge |n\rangle = -|n\rangle \wedge |m\rangle ,
\langle m| \wedge \langle n| = - \langle n| \wedge \langle m| ,
  • sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:
(|mn\rangle)^+ = \langle mn| = \langle n|\langle m| ,
(|m\rangle \langle n|)^+ = |n\rangle \langle m| ,
  • wektor o współrzędnych (v_0, v_1) zapisany w bazie \hat S^+ = (|0\rangle, |1\rangle )^+ :
\langle v| = v_0 \langle 0| + v_1 \langle 1| ,
  • Operatory oznacza się \hat A , na przykład operator jednostkowy:
\hat 1 = |0\rangle  \langle 0| + |1\rangle \langle 1| .

Przypisy

  1. PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics. „Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. 35 (3), s. 416-418, 1939. doi:10.1017/S0305004100021162. 

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]