Płaszczyzna fazowa

Płaszczyzna fazowa – sposób wizualizacji charakterystyki rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych – jednorodnych równań różniczkowych pierwszego rzędu w dwóch wymiarach.

Równanie jednorodne w dwóch wymiarach można zapisać jako układ równań:

$\left\{{\begin{matrix}x'(t)=f(x,y)\\y'(t)=g(x,y)\end{matrix}}\right.$

z zadanym warunkiem początkowym:

$\left\{{\begin{matrix}x(0)=x_{0}\\y(0)=y_{0}\end{matrix}}\right.$

Rozwiązując ten układ otrzymuje się dwie funkcje:

$\left\{{\begin{matrix}x(t)=p(t)\\y(t)=q(t)\end{matrix}}\right.$

spełniające warunek początkowy. Można narysować wykresy funkcji $x(t)$ i $y(t)$ osobno, można jednak także wyrugować parametr $t$ i uzyskać wykres funkcji (trajektorię układu) w układzie współrzędnych $(x,y),$ czyli w płaszczyźnie fazowej.

Dla równania jednorodnego wektor stały $(x,y)=(0,0)$ jest rozwiązaniem. Oznacza to, że początek układu współrzędnych w płaszczyźnie fazowej jest zawsze punktem równowagi. W każdym innym punkcie płaszczyzny fazowej można narysować wektor o współrzędnych $(f(x,y),g(x,y))$ – jest on styczny do trajektorii układu przez ten punkt przechodzącej. Rysując takie wektory dla wielu punktów płaszczyzny, rozpoczynając z dowolnego jej punktu, można narysować przybliżony przebieg trajektorii układu i zorientować się jaki charakter mają rozwiązania: czy zbiegają się do punktu równowagi, rozchodzą się od niego czy też są zamkniętymi orbitami wokół punktu równowagi.

Na przykład rozwiązując układ

$\left\{{\begin{matrix}x'(t)=y(t)\\y'(t)=-x(t)\end{matrix}}\right.$

z zadanym warunkiem początkowym

$\left\{{\begin{matrix}x(0)=0\\y(0)=1\end{matrix}}\right.$

otrzymuje się następujące funkcje:

Trajektoria fazowa dla różnych warunków początkowych (x, y)

$\left\{{\begin{matrix}x(t)=\sin {t}\\y(t)=\cos {t}\end{matrix}}\right.$

Podnosząc je do kwadratu i sumując otrzymuje się jedynkę trygonometryczną $x^{2}(t)+y^{2}(t)=\sin ^{2}{t}+\cos ^{2}{t}=1,$ a zatem w płaszczyźnie fazowej otrzymuje się rozwiązanie – trajektorię fazową, która będzie okręgiem o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $1,$ przechodzącą przez punkt początkowy $(0,1).$

Metoda płaszczyzny fazowej wykorzystywana bywa do określenia charakteru rozwiązań równań nieliniowych z niewielkimi i gładkimi nieliniowościami. Równania takie pojawiają się często w badaniu różnych układów dynamicznych. Można ją też stosować do badania rozwiązań równań jednowymiarowych drugiego rzędu. Równania takie sprowadza się, przez wprowadzenie zmiennej $y=dx/dt$ do układu dwóch równań pierwszego rzędu, które można zanalizować powyższą metodą.

Zobacz też

• metoda płaszczyzny fazowej
• przestrzeń fazowa