Pierścień Witta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W teorii pierścieni, wektory Witta są nieskończonymi ciągami elementów pierścienia przemiennego. Ernst Witt pokazał jak przekształcić strukturę pierścienia w zbiór wektorów w taki sposób, że pierścień wektorów nad skończonym ciałem o charakterystyce p jest pierścieniem liczb p-adycznych.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Weźmy liczbę pierwszą p. Wektor Witta nad pierścieniem przemiennym R jest ciągiem (X_0,X_1,X_2,\dots) elementów R.

Zdefiniujmy wielomiany Witta W_i w następujący sposób:

W_0=X_0\,
W_1=X_0^p+pX_1
W_2=X_0^{p^2}+pX_1^p+p^2X_2

i ogólnie

 W_n=\sum_ip^iX_i^{p^{n-i}}.

Następnie Witt pokazał, że istnieje metoda przekształcenia dowolnego przemiennego pierścienia R w tzw. pierścień wektorów Witta, taki że:

  • suma i iloczyn są dane przez wielomiany ze współczynnikami, które nie zależą od R,
  • każdy wielomian Witta jest homomorfizmem z pierścienia wektorów Witta nad R w R.

Pierwsze kilka wielomianów określających sumę i iloczyn wektorów Witta zostało podane poniżej:

(X0, X1,...) + (Y0, Y1,...) = (X0+Y0, X1 + Y1 + (X0p + Y0p − (X0 + Y0)p)/p, ...)
(X0, X1,...) × (Y0, Y1,...) = (X0Y0, X0pY1 + Y0pX1 + p X1Y1, ...)