Ciało skończone

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało skończone lub ciało Galois – w teorii ciał ciało skończonego rzędu, tj. o skończonej liczbie elementów; druga z nazw pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Évariste'a Galois, który znacząco przyczynił się do rozwoju badań nad ciałami skończonymi oraz wskazał ich zastosowanie w tzw. teorii Galois dającej m.in. definitywną odpowiedź na pytania o rozstrzygnięcie możliwości wykonania klasycznych konstrukcji w geometrii euklidesowej, czy też zgrabnie uzasadniającej brak ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianów wyższych stopni.

W artykule za naturalne uważa się dodatnie liczby całkowite, ciało proste o \scriptstyle p elementach (tzn. rzędu \scriptstyle p) oznaczane będzie zamiennie jednym z symboli \scriptstyle \mathbf F_p oraz \scriptstyle \mathbb Z/(p); inną stosowaną notacją jest \scriptstyle \mathrm{GF}(p) (od ang. Galois field, ciało Galois).

Konstrukcja i własności[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle p będzie liczbą pierwszą, a \scriptstyle \pi będzie unormowanym (monicznym) wielomianem nierozkładalnym stopnia \scriptstyle n należącym do \scriptstyle \mathbf F_p[x] (tj. zmiennej \scriptstyle x o współczynnikach z ciała \scriptstyle \mathbf F_p). Pierścień \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi) jest wtedy ciałem rzędu \scriptstyle p^n[1]. Każde ciało skończone ma rząd wyrażający się naturalną potęgą liczby pierwszej[2], a ponadto jest izomorficzne z \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi) dla pewnej liczby pierwszej \scriptstyle p i unormowanego wielomianu nierozkładalnego \scriptstyle \pi należącego do \scriptstyle \mathbf F_p[x][3][4][5].

Dowolne ciało skończone można opisać jako ciało rozkładu wielomianu wyłącznie w zależności od rzędu ciała: ciało skończone o rzędzie \scriptstyle p^n będącym potęgą liczby pierwszej jest ciałem rozkładu wielomianu \scriptstyle x^{p^n} - x nad ciałem \scriptstyle \mathbf F_p[6]; wynika stąd, że ciała skończone tego samego rzędu są izomorficzne[7][8]. Wychodząc stąd można dowieść istnienia ciał skończonych dowolnego rzędu będącego potęgą liczby pierwszej[9]. Dla dowolnej liczby pierwszej \scriptstyle p i naturalnej liczby \scriptstyle n istnieje unormowany wielomian nierozkładalny stopnia \scriptstyle n należący do \scriptstyle \mathbf F_p[x][10]. Podciała \scriptstyle \mathbf F_{p^n} są rzędu \scriptstyle p^d, gdzie \scriptstyle d|n, przy czym istnieje jedno i tylko jedno takie ciało dla każdego \scriptstyle d[11].

Zbiór pierwiastków wielomianu \scriptstyle x^{p^n} - x zawiera wszystkie elementy \scriptstyle \mathbf F_{p^n}, zatem ciało to jest ciałem rozkładu tego wielomianu rozdzielczego nad ciałem \scriptstyle \mathbf F_p. Stąd ciało \scriptstyle \mathbf F_{p^n}/\mathbf F_p jest rozszerzeniem Galois – zasadniczą cechą ciał skończonych jest to, iż grupa Galois \scriptstyle \mathrm{Gal}(\mathbf F_{p^n}/\mathbf F_p) jest cykliczna i ma kanoniczny generator w postaci endomorfizmu Frobeniusa \scriptstyle \varphi_p\colon t \mapsto t_p[12]. Jeśli \scriptstyle \pi \in \mathbf F_q[x] jest wielomianem nierozkładalnym stopnia \scriptstyle d i ma pierwiastek \scriptstyle \alpha w pewnym rozszerzeniu ciała \scriptstyle \mathbf F_q, to jego pierwiastki tworzą zbiór złożony z elementów \scriptstyle \alpha, \alpha^p, \alpha^{p^2}, \dots, \alpha^{p^{d-1}}[13].

Powyższe twierdzenia można uogólnić zastępując ciało \scriptstyle \mathbf F_p rzędu wyrażającego się pewną liczbą pierwszą \scriptstyle p ogólnym ciałem \scriptstyle \mathbf F_q rzędu \scriptstyle q = p^n wykorzystując obserwację, iż dla każdego \scriptstyle a \in \mathbf F_q zachodzi \scriptstyle a^q = a, zatem rolę endomorfizmu Frobeniusa \scriptstyle x \mapsto x^p dla skończonych rozszerzeń \scriptstyle \mathbf F_p przejmuje odwzorowanie \scriptstyle x \mapsto x^q dla skończonych rozszerzeń \scriptstyle \mathbf F_q[14].

Ciała skończone nie są algebraicznie domknięte[15] (dla każdego jednak ciała istnieje ciało algebraicznie domknięte je zawierające). Twierdzenie Wedderburna mówi, że każdy skończony pierścień całkowity (w szczególności: pierścień z dzieleniem) jest przemienny, a więc jest ciałem (skończonym); teza zachodzi również dla pierścieni alternatywnych, czyli przy zrezygnowaniu z założenia łączności pierścienia na rzecz jego alternatywności, o czym mówi twierdzenie Artina-Zorna.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Odpowiednio \scriptstyle 8- i \scriptstyle 9-elementowe pierścienie \scriptstyle \mathbb Z/2^3\mathbb Z i \scriptstyle \mathbb Z/3^2\mathbb Z nie są poprawnymi konstrukcjami ciał – pierścień \scriptstyle \mathbb Z/m\mathbb Z jest ciałem wyłącznie wtedy, gdy \scriptstyle m jest liczbą pierwszą – niemniej ciała skończone tych rzędów istnieją: ciałami rzędu \scriptstyle 8 są np. \scriptstyle \mathbf F_2[x]/(x^3 + x + 1) oraz \scriptstyle \mathbf F_2[x]/(x^3 + x^2 + 1), a przykładami ciał rzędu \scriptstyle 9 są np. \scriptstyle \mathbf F_3[x]/(x^2 + 1), bądź \scriptstyle \mathbf F_3[x]/(x^2 + x + 2) albo \scriptstyle \mathbf F_3[x]/(x^2 + 2x + 2) – są to wszystkie ciała postaci \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi) dla unormowanego wielomianu \scriptstyle \pi \in \mathbf F_p[x] dla \scriptstyle p = 3 i \scriptstyle n = \deg \pi = 2, czyli rzędu \scriptstyle p^n = 9; innym ciałem rzędu \scriptstyle 9 jest \scriptstyle \mathbb Z[i]/(3), które jest izomorficzne z \scriptstyle \mathbf F_3[x]/(x^2 + 1), a nawet wszystkimi innymi ciałami rzędu \scriptstyle 9. Wielomian \scriptstyle x^3 - 2 jest nierozkładalny w \scriptstyle \mathbf F_7[x], zatem \scriptstyle \mathbf F_7[x]/(x^3 - 2) jest ciałem rzędu \scriptstyle 7^3 = 343.

Zbiór niezerowych elementów ciała \scriptstyle \mathbf F_3[x]/(x^2 + 1) tworzy grupę rzędu \scriptstyle 8; element \scriptstyle x nie generuje tej grupy – jego kolejnymi potęgami są \scriptstyle x,\ x^2 = -1 = 2,\ x^3 = 2x,\ x^4 = 2x^2 = -2 = 1, jednakże element \scriptstyle x + 1 jest jej generatorem – jego kolejne potęgi to \scriptstyle x + 1,\ 2x,\ 2x + 1,\ 2,\ 2x + 2,\ x,\ x + 2,\ 1 (w pozostałych ciałach rzędu \scriptstyle 9 w „modelu wielomianowym”, generatorem grupy multiplikatywnej jest \scriptstyle x).

Wielomian \scriptstyle T^3 + T^2 + 1 jest nierozkładalny w \scriptstyle \mathbf F_2[x]; jednym z jego pierwiastków w ciele \scriptstyle F = \mathbf F_2[x]/(x^3 + x^2 + 1) jest element \scriptstyle x, dwoma pozostałymi są \scriptstyle x^2,\ x^4. Ponieważ \scriptstyle x^3 + x^2 + 1 = 0 w \scriptstyle F, to \scriptstyle x^3 = x^2 + 1 (gdyż \scriptstyle -1 = 1), zatem \scriptstyle x^4 = x^3 + x = (x^2 + 1) + x = x^2 + x + 1, skąd wynika, że pierwiastki \scriptstyle T^3 + T^2 + 1 = 0 w \scriptstyle F można zapisać jako \scriptstyle x,\ x^2,\ x^2 + x + 1. Element \scriptstyle x + 1 jest jednym z pierwiastków \scriptstyle T^3 + T + 1 w \scriptstyle F; dwoma pozostałymi są \scriptstyle (x + 1)^2 = x^2 + 1 oraz \scriptstyle (x + 1)^4 = (x^2 + 1)^2 = x^4 + 1 = (x^2 + x + 1) + 1 = x^2 + x.

Element \scriptstyle x^2 + x + 2 ciała \scriptstyle \mathbf F_7[x]/(x^3 - 2) ma wielomian minimalny \scriptstyle T^3 + T^2 + 6T + 5 nad \scriptstyle \mathbf F_7. Pozostałymi dwoma pierwiastkami tego wielomianu są nad \scriptstyle (x^2 + x + 2)^7 oraz \scriptstyle (x^2 + x + 2)^{49}; potęgi tych elementów można zredukować korzystając z tożsamości \scriptstyle x^3 = 2, mianowicie: \scriptstyle (x^2 + x + 2)^7 = 2x^2 + 4x + 2 oraz \scriptstyle (x^2 + x + 2)^{49} = 4x^2 + 2x + 2.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Ciała o rzędzie wyrażającym się liczbą pierwszą, \scriptstyle \mathbb Z/p\mathbb Z, były przedmiotem badań wielu pionierów teorii liczb, m.in. Pierre'a de Fermata, Leonharda Eulera, Josepha Louisa Lagrange'a, Adriena-Marie Legendre'a, czy Carla Friedricha Gaussa. Pierwszym matematykiem piszącym o innych ciałach skończonych był Évariste Galois, który przedstawił o nich pracę w 1830 roku (ciałami o rzędach niewyrażających się liczbami pierwszymi zajmował się wcześniej Gauss, co odkryto jednak dopiero po jego śmierci w 1855 roku wydając jego prace na ten temat w 1863 roku, lecz przeszły one bez większego echa).

Galois konstruował ciała skończone jako rozszerzenia pojedyncze \scriptstyle \mathbf F_p(\alpha), gdzie \scriptstyle \alpha jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego \scriptstyle \pi zmiennej \scriptstyle x nad ciałem \scriptstyle \mathbf F_p (tzn. należącego do \scriptstyle \mathbf F_p[x]); jest to równoważne rozpatrywaniu \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi). Galois nie pokazał, że w \scriptstyle \mathbf F_p[x] istnieje wielomian nierozkładalny dowolnego stopnia.

W 1893 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Chicago Eliakim Hastings Moore dowiódł, że każde ciało skończone jest izomorficzne z ciałem postaci \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi); twierdzenie opatrzył komentarzem „To interesujący wynik, którego sformułowania nie widziałem nigdzie indziej”[16]. Moore był pierwszą osobą, która użyła angielskiego słowa field (dosł. „pole”) w sensie algebraicznym, choć traktował je jako synonim niemieckiego endlicher Körper (dosł. „ciało skończone”)[17]. Każde skonstruowane ciało postaci \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi). nazywał on ciałem Galois, były więc one dla niego konkretnymi modelami wszystkich ciał skończonych. W informatyce wyrażenie Moore'a „ciało Galois” jest synonimem ciała skończonego, a stosowana przez niego notacja \scriptstyle \mathrm{GF}(q) (od ang. Galois field) stosowana jest często zamiast \scriptstyle \mathbf F_q.

Przypisy

  1. Warstwy modulo \scriptstyle \pi są reprezentowane za pomocą reszt \scriptstyle c_0 + c_1 x + \dots + c_{n-1} x^{n-1}, gdzie \scriptstyle c_i \in \mathbf F_p, przy czym jest ich \scriptstyle p^n. Ponieważ \scriptstyle \pi jest nierozkładalny, to korzystając z tego samego argumentu, co przy dowodzie, iż \scriptstyle \mathbb Z/(m) jest ciałem dla \scriptstyle m będącego liczbą pierwszą, pierścień \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi) jest ciałem.
  2. Charakterystyka ciała skończonego \scriptstyle F jest liczbą pierwszą, gdyż jądro homomorfizmu \scriptstyle \mathbb Z \to F jest niepuste (z uwagi na nieskończony rząd \scriptstyle \mathbb Z i skończony \scriptstyle F) i jest postaci \scriptstyle (m) = m\mathbb Z dla pewnej liczby całkowitej \scriptstyle m > 0, zatem \scriptstyle \mathbb Z/(m) zanurza się w \scriptstyle F jako podpierścień; każdy podpierścień ciała jest dziedziną, zatem \scriptstyle m musi być liczbą pierwszą, oznaczaną dalej \scriptstyle p. Skoro \scriptstyle \mathbb Z/(p) \hookrightarrow F jest zanurzeniem, to \scriptstyle F można traktować jako przestrzeń liniową nad \scriptstyle \mathbb Z/(p), skończonego wymiaru \scriptstyle n = \displaystyle[\scriptstyle F \colon \mathbb Z/(p)\displaystyle]\scriptstyle := \dim_{\mathbb Z/(p)}(F) (gdyż \scriptstyle F jest zbiorem skończonym). Każdy element \scriptstyle F można wtedy zapisać jednoznacznie w bazie \scriptstyle (e_i) nad \scriptstyle \mathbb Z/(p) jako kombinację liniową \scriptstyle c_1 e_1 + \dots + c_n e_n dla \scriptstyle c_i \in \mathbb Z/(p); liczba tych kombinacji wynosi \scriptstyle p^n.
  3. Lemat: Jeśli ciało \scriptstyle F jest skończone, to jego grupa multiplikatywna \scriptstyle F^* jest cykliczna.
    Dowód lematu: Niech \scriptstyle k oznacza największy rząd elementu w grupie \scriptstyle F^*; z teorii skończonych grup abelowych wynika, że rząd dowolnego jej elementu dzieli rząd maksymalny, zatem dla dowolnego \scriptstyle t \in F^* zachodzi \scriptstyle t^k = 1. Stąd wszystkie liczby w \scriptstyle F^* są pierwiastkami \scriptstyle x^k - 1.
    Niech \scriptstyle q = |F|; liczba pierwiastków wielomianu jest równa co najwyżej stopniowi wielomianu, a ponieważ \scriptstyle x^k - 1 ma \scriptstyle q - 1 pierwiastków w \scriptstyle F, to \scriptstyle q - 1 \leqslant k. Skoro \scriptstyle k jest rzędem elementu w \scriptstyle F^* będącej grupą rzędu \scriptstyle q - 1, to \scriptstyle k | (q - 1), a więc \scriptstyle k = q - 1, skąd wynika, że w \scriptstyle F istnieją elementy rzędu \scriptstyle q - 1, co oznacza, iż \scriptstyle F^* jest cykliczna.
  4. Niech \scriptstyle F będzie ciałem skończonym o \scriptstyle p^n elementów (z twierdzenia wyżej) i dane będzie zanurzenie ciał \scriptstyle \mathbf F_p \hookrightarrow F. Niech \scriptstyle \gamma będzie generatorem grupy cyklicznej \scriptstyle F^* (z powyższego lematu). Ewaluacja \scriptstyle \mathrm{ev}_\gamma\colon \mathbf F_p[x] \to F wielomianu dla elementu \scriptstyle \gamma dana wzorem \scriptstyle \mathrm{ev}_\gamma(f) = f(\gamma) jest homomorfizmem pierścieni. Ponieważ każdy element \scriptstyle F jest zerem lub potęgą \scriptstyle \gamma (tzn. \scriptstyle 0 = \mathrm{ev}_\gamma(0) oraz \scriptstyle \gamma^r = \mathrm{ev}_\gamma(x^r) dla dowolnego \scriptstyle r \geqslant 0), to \scriptstyle \mathrm{ev}_\gamma jest epimorfizmem („na”), zatem \scriptstyle \mathbf F_p[x]/\ker \mathrm{ev}_\gamma \simeq F. Skoro jądro \scriptstyle \mathrm{ev}_\gamma jest ideałem maksymalnym w \scriptstyle \mathbf F_p[x], to musi być ono równe \scriptstyle (\pi) dla pewnego unormowanego wielomianu nierozkładalnego \scriptstyle \pi należącego do \scriptstyle \mathbf F_p[x].
  5. Twierdzenie to nie zapewnia istnienia ciał rzędów wyrażających się za pomocą wszystkich potęg liczb pierwszych; mówi jedynie, iż jeśli istnieje ciało rzędu \scriptstyle p^n, to jest ono izomorficzne z \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi); odpowiedni dowód istnienia przedstawiono dalej.
  6. Niech \scriptstyle F będzie ciałem rzędu \scriptstyle p^n; z dowodu twierdzenia o rzędzie ciała skończonego wynika, że \scriptstyle F zawiera podciało rzędu \scriptstyle p izomorficzne z \scriptstyle \mathbf F_p, jest nim podpierścień \scriptstyle F generowany przez \scriptstyle 1. Dla każdego \scriptstyle t \in F zachodzi \scriptstyle t^{p^n} = t; otóż jeśli \scriptstyle t \ne 0, to \scriptstyle t^{p^n - 1} = 1, gdyż \scriptstyle F^* = F \setminus \{0\} jest grupą multiplikatywną rzędu \scriptstyle p^n - 1 i wtedy tożsamość wynika z obustronnego pomnożenia równania przez \scriptstyle t, co jest również prawdą w przypadku, gdy \scriptstyle t = 0. Każdy element \scriptstyle F jest pierwiastkiem \scriptstyle x^{p^n} - x, zatem \scriptstyle F jest ciałem rozkładu tego wielomianu nad ciałem \scriptstyle \mathbf F_p.
  7. Wynika to wprost z izomorficzności ciał rozkładu ustalonego wielomianu nad \scriptstyle \mathbf F_p.
  8. Analogiczne twierdzenie dla skończonych grup lub pierścieni jest fałszywe: tak \scriptstyle \mathbb Z/(4), jak i \scriptstyle \mathbb Z/(2) \times \mathbb Z/(2) są rzędu \scriptstyle 4, lecz są nieizomorficzne jako grupy addytywne (odpowiednio grupa cykliczna i grupa czwórkowa Kleina) i pierścienie przemienne.
  9. Twierdzenie: Dla dowolnych liczb pierwszej \scriptstyle p i naturalnej \scriptstyle n istnieje ciało rzędu \scriptstyle p^n.
    Dowód: Niech \scriptstyle F będzie rozszerzeniem ciała \scriptstyle \mathbf F_p nad którym wielomian \scriptstyle x^{p^n} - x rozkłada się na czynniki liniowe (tzn. pewnym rozszerzeniem ciała rozkładu tego wielomianu; istnienie tego rodzaju rozszerzenia wynika z ogólnej teorii ciał). Pierwiastki wspomnianego wielomianu tworzą zbiór \scriptstyle S = \left\{t \in F\colon t^{p^n} = t\right\} o \scriptstyle p^n elementach, gdyż wielomian \scriptstyle x^{p^n} - x jest rozdzielczy: \scriptstyle \left(x^{p^n} - x\right)' = p^n x^{(p^n - 1)} - 1 = -1, gdyż \scriptstyle p = 0 w \scriptstyle F, zatem \scriptstyle x^{p^n} - x i jego pochodna nie mają wspólnych pierwiastków; wielomian ten rozkłada się na czynniki liniowe nad \scriptstyle F i jest stopnia \scriptstyle p^n, zatem ma \scriptstyle p^n pierwiastków w \scriptstyle F.
    Zbiór \scriptstyle S tworzy ciało – wynika to wprost z własności endomorfizmu Frobeniusa \scriptstyle x \to x^p. Mianowicie: zamkniętość ze względu na mnożenie i odwracanie (niezerowych rozwiązań) jest trywialna, z kolei zamkniętość ze względu na dodawanie i branie elementów przeciwnych wynika stąd, iż \scriptstyle S jest grupą addytywną: skoro \scriptstyle p = 0 w \scriptstyle F, to dla dowolnych elementów \scriptstyle a, b \in F zachodzi równość \scriptstyle (a + b)^p = a^p + b^p (wyrazy mieszane rozwinięcia dwumianu Newtona \scriptstyle (a + b)^p mają współczynniki \scriptstyle \binom{p}{k} będące wielokrotnościami \scriptstyle p, zatem są równe zeru), co dowodzi addytywności endomorfizmu Frobeniusa, skąd wynika także addytywność jego \scriptstyle n-tej iteracji \scriptstyle x \to x^{p^n}. Zbiór \scriptstyle S jest grupą ze względu na dodawanie jako zbiór punktów stałych tej właśnie funkcji addytywnej.
  10. Z powyższego twierdzenia wynika istnienie abstrakcyjnego ciała rzędu \scriptstyle p^n, a z twierdzenia wyżej musi być ono izomorficzne z ciałem \scriptstyle \mathbf F_p[x]/(\pi) dla pewnego \scriptstyle \pi \in \mathbf F_p[x].
  11. Niech \scriptstyle F będzie ciałem spełniającym \scriptstyle \mathbf F_p \subseteq F \subseteq \mathbf F_{p^n} i niech \scriptstyle d = [F\colon \mathbf F_p] tak, iż \scriptstyle |F| = p^d, a \scriptstyle d dzieli \scriptstyle [\mathbf F_{p^n}\colon \mathbf F_p] = n. Opisanie \scriptstyle F wyłącznie w zależności od \scriptstyle |F| zagwarantuje jedyność podciała tego rzędu w \scriptstyle \mathbf F_{p^n}. Skoro \scriptstyle F^* jest rzędu \scriptstyle p^d - 1, to dla każdego \scriptstyle t \in F^* zachodzi \scriptstyle t^{p^d - 1} = 1, zatem \scriptstyle t^{p^d} = t, również dla \scriptstyle t = 0. Wielomian \scriptstyle x^{p^d} - x ma co najwyżej \scriptstyle p^d pierwiastków w \scriptstyle \mathbf F_{p^n}, a ponieważ \scriptstyle F jest zbiorem \scriptstyle p^d różnych pierwiastków, jest \scriptstyle F = \{t \in \mathbf F_{p^n}\colon t^{p^d} = t\}; (zależna tylko od liczby elementów) postać tego zbioru dowodzi jego jednoznaczności. Przechodząc do dowodu, iż dla każdego \scriptstyle d|n istnieje podciało ciała \scriptstyle \mathbf F_{p^n} rzędu \scriptstyle p^d: zbiór \scriptstyle \{t \in \mathbf F_{p^n}\colon t^{p^d} = t\} jest ciałem na mocy tego samego argumentu, co dla zbioru \scriptstyle S w dowodzie twierdzenia o istnieniu; wykazanie, iż ma on \scriptstyle p^d elementów polega na wskazaniu \scriptstyle p^d - 1 niezerowych elementów w \scriptstyle \mathbf F_{p^n} spełniających \scriptstyle t^{p^d - 1} = 1. Otóż niech \scriptstyle \gamma będzie generatorem \scriptstyle \mathbf F_{p^n}^*, czyli ma rząd \scriptstyle p^n - 1; ponieważ \scriptstyle d|n, tj. \scriptstyle (p^d - 1) dzieli \scriptstyle p^n - 1, to \scriptstyle \alpha := \gamma^{(p^n - 1)/(p^d - 1)} jest rzędu \scriptstyle p^d - 1. Wszystkie potęgi \scriptstyle \alpha^k dla \scriptstyle 0 \leqslant k \leqslant p^d - 2 spełniają \scriptstyle t^{p^d} - 1 = 1.
  12. Dla dowolnego \scriptstyle a \in \mathbf F_p zachodzi \scriptstyle a^p = a, zatem \scriptstyle \mathbf F_p jest zbiorem punktów stałych funkcji \scriptstyle \varphi_p\colon \mathbf F_{p^n} \to \mathbf F_{p^n}; funkcja ta jest homomorfizmem ciał i jest różnowartościowa (wszystkie homomorfizmy ciał są monomorfizmami), a także „na”, jako że \scriptstyle \mathbf F_{p^n} jest skończone (innymi słowy endomorfizm Frobeniusa jest automorfizmem). Stąd \scriptstyle \varphi_p \in \mathrm{Gal}(\mathbf F_{p^n}/\mathbf F_p). Rząd tej grupy Galois wynosi \scriptstyle [\mathbf F_{p^n} : \mathbf F_p] = n; wystarczy wykazać, że \scriptstyle \varphi_p jest rzędu \scriptstyle n, co oznaczać będzie, iż jest generatorem tej grupy. Niech dla \scriptstyle r \geqslant 0 będzie \scriptstyle \varphi_p^r(t) = t^{p^r}. Wówczas jeśli \scriptstyle \varphi_p^r jest elementem neutralnym tej grupy, to \scriptstyle t^{p^r} = t dla wszystkich \scriptstyle t \in \mathbf F_{p^n}. Wielomian \scriptstyle x^{p^r} - x ma co najwyżej \scriptstyle p^r pierwiastków, zatem \scriptstyle p^n < p^r, czyli \scriptstyle n < r. Wynika stąd, iż \scriptstyle \varphi_p ma w \scriptstyle \mathrm{Gal}(\mathbf F_{p^n}/\mathbf F_p) rząd równy co najmniej \scriptstyle n; z drugiej strony grupa ta ma rząd co najwyżej \scriptstyle n, zatem \scriptstyle \varphi_p musi być tamże rzędu \scriptstyle n.
  13. Każde skończone ciało rzędu wyrażającego się potęgą liczby pierwszej \scriptstyle p jest rozszerzeniem Galois nad \scriptstyle \mathbf F_p. W szczególności dotyczy to ciała \scriptstyle \mathbf F_p(\alpha), a pozostałe pierwiastki \scriptstyle \pi można otrzymać z \scriptstyle \alpha działając na ten element grupą \scriptstyle \mathrm{Gal}(\mathbf F_{p^n}/\mathbf F_p). Ponieważ grupa ta jest generowana przez endomorfizm Frobeniusa, to pierwiastki \scriptstyle \pi należą do zbioru \scriptstyle \alpha, \alpha^p, \alpha^{p^2}, \dots. Zbiór ten jest skończony, gdyż \scriptstyle \alpha^{p^d} = \alpha, co wynika stąd, iż \scriptstyle \mathbf F_p(\alpha) \simeq \mathbf F_p[x]/(\pi) jest rzędu \scriptstyle p^d. Wielomian \scriptstyle \pi jest rozdzielczy, ponieważ jego pierwiastki należą do rozszerzenia Galois \scriptstyle \mathbf F_p(\alpha) ciała \scriptstyle \mathbf F_p, a skoro ma on stopień \scriptstyle d, to parami różne elementy \scriptstyle \alpha, \alpha^p, \alpha^{p^2}, \dots, \alpha^{p^{d-1}} tworzą zbiór jego pierwiastków.
  14. Twierdzenie: Dla dowolnej liczby naturalnej \scriptstyle n istnieje unormowany wielomian nierozkładalny stopnia \scriptstyle n należący do \scriptstyle \mathbf F_q[x].
    Twierdzenie: Między \scriptstyle \mathbf F_q a \scriptstyle \mathbf F_{q^n} istnieje jedno i tylko jedno ciało rzędu \scriptstyle q^d dla każdego \scriptstyle d|n; jest ono postaci \scriptstyle \left\{t \in \mathbf F_{q^n}\colon t^{q^d} = t\right\}.
    Twierdzenie: Dla dowolnej liczby naturalnej \scriptstyle n ciało \scriptstyle \mathbf F_{q^n}/\mathbf F_q jest rozszerzeniem Galois, a jego grupa Galois \scriptstyle \mathrm{Gal}(\mathbf F_{q^n}/\mathbf F_q) jest cykliczna, przy czym jej generatorem jest przekształcenie \scriptstyle \varphi_q\colon t \mapsto t_q.
    Twierdzenie: Jeśli \scriptstyle \pi \in \mathbf F_q[x] jest wielomianem nierozkładalnym stopnia \scriptstyle d i ma pierwiastek \scriptstyle \alpha w pewnym rozszerzeniu ciała \scriptstyle \mathbf F_q, to zbiór elementów \scriptstyle \alpha, \alpha^q, \alpha^{q^2}, \dots, \alpha^{q^{d-1}} zawiera wszystkie jego pierwiastki.
  15. Jeśli \scriptstyle F = \{a_1, \dots, a_r\} jest ciałem skończonym, to wartość wielomianu \scriptstyle (x - a_1) \dots (x - a_r) + 1 dla dowolnego elementu \scriptstyle x \in F jest równa \scriptstyle 1 (jego funkcja wielomianowa jest stale równa \scriptstyle 1), skąd wielomian ten nie ma pierwiastków w \scriptstyle F.
  16. (Moore, s. 211)
  17. (Moore, s. 208)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Browkin, „Teoria ciał”, PWN 1978.
  • Rudolf Lidl, Harald Niederreiter, „Finite Fields”, Addison-Wesley 1983.
  • E. H. Moore: A Doubly-Infnite System of Simple Groups, ss. 208–242 w „Mathematical papers read at the International Mathematical Congress held in connection with the World's Columbian Exposition, Chicago, 1893”; Macmillan & Co., Nowy Jork, 1896.
  • Andrzej Chmielowiec, Ciała charakterystyki 2 – aspekty implementacyjne, 2007