Liczby p-adyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby p-adyczne (gdzie p jest liczbą pierwszą) - alternatywne wobec liczb rzeczywistych uzupełnienie ciała liczb wymiernych za pomocą konstrukcji ciągów Cauchy'ego.

Jedna z konstrukcji liczb rzeczywistych jest wykonywana przez zinterpretowanie liczby rzeczywistej jako zbioru wszystkich ciągów liczb wymiernych które zbiegają do tej samej granicy. Ściślej w zbiorze ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych wprowadzamy relację równoważności \sim:

(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \sim (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \iff \forall_{\mathbb{Q}\ni\varepsilon>0}\exist_{n_0\in\mathbb{N}}\forall_{n>n_0}|a_n-b_n|<\varepsilon.

Liczby rzeczywiste to klasy abstrakcji tej relacji.

W definicji tej występuje wartość bezwzględna. Można ją zastąpić przez następującą normę p-adyczną:

|0|=0
|r|=p^{-w_p(r)}

gdzie w_p(r) to wykładnik przy liczbie p w rozkładzie liczby wymiernej r na czynniki pierwsze (tzw. waluacja):

r=\sgn(r)\cdot 2^{w_2(r)}\cdot 3^{w_3(r)}\cdot 5^{w_5(r)}\cdot 7^{w_7(r)}\cdot \dots

Liczby p-adyczne tworzą ciało będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych. Ciała liczb p-adycznych dla różnych p nie są izomorficzne. Każdą liczbę p-adyczną można jednoznacznie zapisać w postaci sumy szeregu:

\alpha=\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty}s_n p^n

gdzie k jest liczbą całkowitą i w_p(\alpha)=k, a współczynniki s_n są resztami z dzielenia przez p, tzn. s_n\in\{0,1,\ldots,p-1\}. Liczby p-adyczne dodaje się i mnoży jak szeregi, z przeniesieniem do następnego "rzędu" gdy pojawia się współczynnik większy od p-1. Ciągiem (a_n)_{n\in\mathbb{N}} reprezentującym \alpha jest ciąg sum częściowych tego szeregu. Z tak określonym dodawaniem i mnożeniem liczby p-adyczne tworzą ciało. Zwykłe liczby wymierne, to te liczby p-adyczne, których rozwinięcie w szereg jest okresowe od pewnego miejsca (np. skończone).

Norma p-adyczna przedłuża się na ciało liczb p-adycznych:

w_p (\displaystyle\sum_{n=k}^\infty s_n p^n)=k gdy s_k\neq 0.

Metryka \rho (x,y) = p^{-w_p(x-y)} dla normy p-adycznej jest zupełną ultrametryką, np. szereg liczb p-adycznych \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \alpha _n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n =0.

Szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych są liczby p-adyczne całkowite. Przy przedstawieniu w postaci sumy szeregu liczby p-adyczne całkowite to te, które mają nieujemny początek sumowania k, tzn. te liczby p-adyczne \alpha, dla których w_p(\alpha)\geqslant 0. Liczby całkowite p-adyczne tworzą pierścień lokalny.

Topologicznie, liczby rzeczywiste identyfikuje się z punktami prostej, a liczby zespolone - z punktami płaszczyzny. Ciało liczb p-adycznych topologicznie jest zbiorem Cantora bez jednego punktu końcowego, a pierścień liczb p-adycznych całkowitych - zbiorem Cantora.

Liczby p-adyczne są bardzo ważne w teorii liczb, gdzie pomagają rozwiązywać równania diofantyczne i klasyfikować formy kwadratowe nad ciałem liczb wymiernych (zasada lokalno-globalna Minkowskiego-Hasse). Dowód hipotezy Weila o wymierności \zeta-funkcji rozmaitości algebraicznych nad ciałami skończonymi, podany przez B. Dworka[1] w 1960, wykorzystywał analizę p-adyczną (funkcje p-adyczne, ich pochodne i całki).

Liczby p-adyczne odkrył w latach 20. XX w. Kurt Hensel.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Bernard Dwork: On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. Amer. J. Math. 82, 1960.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Władysław Narkiewicz: Teoria liczb. PWN, 1977.
  2. Neal Koblitz: p-Adic Numbers, p-Adic Analysis, and Zeta-Functions. Springer, 1977.