Przekształcenie dwuliniowe

Przekształcenie dwuliniowe – funkcja z iloczynu kartezjańskiego ustalonych przestrzeni liniowych w pewną przestrzeń liniową, liniowe względem obu współrzędnych.

Definicja formalna

Niech $U_1,\;U_2,\;V$ będą przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem $K$. Przekształcenie $A: U_1 \times U_2 \to V$ nazwiemy dwuliniowym, jeśli dla każdego $a \in U_2$ funkcja $h_1 : U_1 \to V$ zdefiniowana jako $h_1(x)=A(x,a)$ jest przekształceniem liniowym dla każdego $x \in U_1$, oraz jeśli dla każdego $b \in U_1$ funkcja $h_2 : U_2 \to V$ zdefiniowana jako $h_2(x)=A(b,x)$ jest przekształceniem liniowym dla każdego $x \in U_2$. Innymi słowy, przekształcenie $A: U_1 \times U_2 \to V$ nazwiemy dwuliniowym, jeśli jest ono liniowe względem każdej zmiennej

Uwaga

Z definicji łatwo wynika, że złożenie przekształcenia dwuliniowego $A: U \times U \to V$, gdzie $U$ jest przestrzenią liniową, z rzutami $\pi_x, \pi_y: U \times U \to U$, $\pi_x(x, y) = x,\; \pi_y(x, y) = y$ jest przekształceniem liniowym.

Właściwości

• Przekształcenie $A$ jest symetryczne $\iff A(u, v) = A(v, u) \quad \forall_{u, v \in V}$.

Zobacz też

• przekształcenie liniowe
• przekształcenie antyliniowe
• przekształcenie półtoraliniowe
• przekształcenie wieloliniowe
• funkcjonał dwuliniowy