Iloczyn kartezjański

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
×

Iloczyn kartezjański zbiorów A i B - zbiór wszystkich takich par uporządkowanych (a, b), że a należy do zbioru A i b należy do zbioru B. Iloczyn kartezjański zbiorów A i B oznacza się symbolem A\times B[1]. Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są przy pomocy uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) - o elementach (punktach) iloczynu kartezjańskiego A\times B można myśleć podobnie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Iloczynem kartezjańskim zbiorów  X i  Y nazywamy zbiór

X \times Y := \left\{ (x, y) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X\cup Y))\colon x \in X \wedge y \in Y \right\},

gdzie \mathcal{P}(X) oznacza zbiór potęgowy zbioru X.

W naturalny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów: A \times B \times C jako A \times (B \times C), A \times B \times C \times D jako A \times (B \times (C \times D)) i tak dalej. Na przykład iloczyn kartezjański trzech zbiorów będzie w rezultacie zbiorem wszystkich trójek uporządkowanych a, b, c takich, że a należy do A, b należy do B i c należy do C.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będą zbiory A=\{1,2,3\} oraz B=\{a, b\}. Iloczyn kartezjański zbiorów A i B zgodnie z definicją jest równy:

A\times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}.

Produkt kartezjański[edytuj | edytuj kod]

Dla rodziny zbiorów \{A_i\colon\, i\in I\} można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji

f\colon I \to \bigcup_{i \in I} A_i,

że

f(i)\in A_i dla każdego i\in I

nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów \{A_i\colon\, i\in I\} i oznacza takimi symbolami jak

\prod_{i \in I} A_i,\;\underset{i \in I}\times\; A_i

czy

\underset{i \in I}{\operatorname{P}}\; A_i.

Przypisy

  1. Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 51-53, 73. [dostęp 17.06.2011 r.].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: PWN, 1952, s. 51-53, 73. [dostęp 2011-06-17].
  2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
  3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]