Iloczyn kartezjański

×

Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ - zbiór wszystkich takich par uporządkowanych $(a, b)$, że $a$ należy do zbioru $A$ i $b$ należy do zbioru $B$. Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ oznacza się symbolem $A\times B$. Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są przy pomocy uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) - o elementach (punktach) iloczynu kartezjańskiego $A\times B$ można myśleć podobnie.

Definicja

Iloczynem kartezjańskim zbiorów $X$ i $Y$ nazywamy zbiór

$X \times Y := \left\{ (x, y) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X\cup Y))\colon x \in X \wedge y \in Y \right\}$,

gdzie $\mathcal{P}(X)$ oznacza zbiór potęgowy zbioru $X$.

W naturalny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów: $A \times B \times C$ jako $A \times (B \times C)$, $A \times B \times C \times D$ jako $A \times (B \times (C \times D))$ i tak dalej. Na przykład iloczyn kartezjański trzech zbiorów będzie w rezultacie zbiorem wszystkich trójek uporządkowanych $a, b, c$ takich, że $a$ należy do $A$, $b$ należy do $B$ i $c$ należy do $C$.

Przykład

Niech dane będą zbiory $A=\{1,2,3\}$ oraz $B=\{a, b\}$. Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ zgodnie z definicją jest równy:

$A\times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}$.

Produkt kartezjański

Dla rodziny zbiorów $\{A_i\colon\, i\in I\}$ można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji

$f\colon I \to \bigcup_{i \in I} A_i$,

że

$f(i)\in A_i$ dla każdego $i\in I$

nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{A_i\colon\, i\in I\}$ i oznacza takimi symbolami jak

$\prod_{i \in I} A_i,\;\underset{i \in I}\times\; A_i$

czy

$\underset{i \in I}{\operatorname P}\; A_i.$

Bibliografia

1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: PWN, 1952, s. 51-53, 73. [dostęp 17.06.2011 r.].
2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.

Zobacz też

• produkt (teoria kategorii)
• suma prosta
• topologia Tichonowa
• twierdzenie o mnożeniu
• zbiór potęgowy