Monomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram przemienny monomorfizmu

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm f\colon X \to Y mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów g_1, g_2\colon Z \to X zachodzi

f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.[1].

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje monomorfizm jako homomorfizm różnowartościowy (iniektywny). Każdy monomorfizm w ten sposób zdefiniowany jest monomorfizmem w sensie teorii kategorii; mimo wszystko istnieją kategorie, w których się one nie pokrywają. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm.

Związek z odwracalnością[edytuj | edytuj kod]

Przekształcenia lewostronnie odwracalne są monomorfizmami: jeśli l jest lewostronną odwrotnością f, tzn. l \circ f = \operatorname{id}_X, to f jest monomorfizmem, gdyż

f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow lfg_1 = lfg_2 \Rightarrow g_1 = g_2.

Przekształcenia lewostronnie odwracalne nazywa się sekcjami albo koretrakcjami.

Przekształcenie f\colon X \to Y jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie indukowane f_*\colon \operatorname{Hom}(Z, X) \to \operatorname{Hom}(Z, Y) zdefiniowane dla wszystkich morfizmów h\colon Z \to X wzorem f_* h = f \circ h jest różnowartościowe dla wszystkich Z\;.

Monomorfizm normalny[edytuj | edytuj kod]

Monomorfizm jest normalny, jeśli jest jądrem jakiegoś morfizmu. Jeśli każdy monomorfizm pewnej kategorii jest normalny, to nazywamy ją kategorią normalną[2].

W kategorii Gr każdy monomorfizm można utożsamić z włożeniem homomorficznym jednej grupy w drugą. Monomorfizm ten jest normalny, jeśli obraz grupy wkładanej jest dzielnikiem normalnym tej drugiej. Dlatego kategoria Gr nie jest normalna. Natomiast kategorie Ab i Vect są kategoriami normalnymi.

Przypisy

  1. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 49
  2. Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 250

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  2. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  3. Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]