Monomorfizm

Diagram przemienny monomorfizmu

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm $f\colon X\to Y$ mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów $g_{1},g_{2}\colon Z\to X$ zachodzi:

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje monomorfizm jako homomorfizm różnowartościowy (iniektywny). Każdy monomorfizm w ten sposób zdefiniowany jest monomorfizmem w sensie teorii kategorii; mimo wszystko istnieją kategorie, w których się one nie pokrywają. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm.

Związek z odwracalnością

Przekształcenia lewostronnie odwracalne są monomorfizmami: jeśli $l$ jest lewostronną odwrotnością $f,$ tzn. $l\circ f=\operatorname {id} _{X},$ to $f$ jest monomorfizmem, gdyż

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

Przekształcenia lewostronnie odwracalne nazywa się sekcjami albo koretrakcjami.

Przekształcenie $f\colon X\to Y$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie indukowane $f_{*}\colon \operatorname {Hom} (Z,X)\to \operatorname {Hom} (Z,Y)$ zdefiniowane dla wszystkich morfizmów $h\colon Z\to X$ wzorem $f_{*}h=f\circ h$ jest różnowartościowe dla wszystkich $Z.$

Monomorfizm normalny

Monomorfizm jest normalny, jeśli jest jądrem jakiegoś morfizmu. Jeśli każdy monomorfizm pewnej kategorii jest normalny, to nazywamy ją kategorią normalną.

W kategorii Gr każdy monomorfizm można utożsamić z włożeniem homomorficznym jednej grupy w drugą. Monomorfizm ten jest normalny, jeśli obraz grupy wkładanej jest dzielnikiem normalnym tej drugiej. Dlatego kategoria Gr nie jest normalna. Natomiast kategorie Ab i Vect są kategoriami normalnymi.

Zobacz też

• izomorfizm
• podobiekt
• zanurzenie

Bibliografia

• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

Literatura dodatkowa

• Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.brak strony w książce
• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).