Monomorfizm

Diagram przemienny monomorfizmu

Monomorfizm – w teorii kategorii morfizm $f\colon X \to Y$ mający lewostronną własność skracania w tym sensie, że dla wszystkich morfizmów $g_1, g_2\colon Z \to X$ zachodzi

$f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.$.

Wielu autorów książek o algebrze abstrakcyjnej i uniwersalnej definiuje monomorfizm jako homomorfizm różnowartościowy (iniektywny). Każdy monomorfizm w ten sposób zdefiniowany jest monomorfizmem w sensie teorii kategorii; mimo wszystko istnieją kategorie, w których się one nie pokrywają. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm.

Związek z odwracalnością

Przekształcenia lewostronnie odwracalne są monomorfizmami: jeśli $l$ jest lewostronną odwrotnością $f,$ tzn. $l \circ f = \operatorname{id}_X,$ to $f$ jest monomorfizmem, gdyż

$f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow lfg_1 = lfg_2 \Rightarrow g_1 = g_2.$

Przekształcenia lewostronnie odwracalne nazywa się sekcjami albo koretrakcjami.

Przekształcenie $f\colon X \to Y$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie indukowane $f_*\colon \operatorname{Hom}(Z, X) \to \operatorname{Hom}(Z, Y)$ zdefiniowane dla wszystkich morfizmów $h\colon Z \to X$ wzorem $f_* h = f \circ h$ jest różnowartościowe dla wszystkich $Z\;$.

Monomorfizm normalny

Monomorfizm jest normalny, jeśli jest jądrem jakiegoś morfizmu. Jeśli każdy monomorfizm pewnej kategorii jest normalny, to nazywamy ją kategorią normalną.

W kategorii Gr każdy monomorfizm można utożsamić z włożeniem homomorficznym jednej grupy w drugą. Monomorfizm ten jest normalny, jeśli obraz grupy wkładanej jest dzielnikiem normalnym tej drugiej. Dlatego kategoria Gr nie jest normalna. Natomiast kategorie Ab i Vect są kategoriami normalnymi.

Bibliografia

1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45. 
2. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972. 
3. Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].

Zobacz też

• zanurzenie
• izomorfizm
• podobiekt